Interpretacja wartości własnych odwrotnego Hesji w module śledzącym KLT

Jestem studentką studiów magisterskich, przygotowuję seminarium z wizji komputerowej. Jednym z tematów jest tracker Kanade-Lucas-Tomasi (KLT), jak opisano w

J. Shi, C. Tomasi, „Dobre funkcje do śledzenia” . Postępowanie CVPR '94.

Oto zasób internetowy , którego używam do zrozumienia modułu śledzącego KLT. Potrzebuję pomocy z matematyką, ponieważ jestem trochę zardzewiały w algebrze liniowej i nie mam wcześniejszego doświadczenia z wizją komputerową.

W tej formule dla (krok 5 w podsumowaniu) zwróć uwagę na odwrotny Hesjan: $\Delta p$

Δ p = H^{- 1} Σ_{x} {[\nabla I \frac{\partial W}{\partial p}]}^{T} [T (x) - I (W (x; p))]

$\Delta p = H^{-1}\Sigma_x\left[\nabla I \frac{\partial W}{\partial p}\right]^\mathsf{T} \left[T(x) − I(W(x; p))\right]$

W artykule dobre funkcje do śledzenia są zdefiniowane jako takie, w których suma odwrotnych macierzy Hesji ma duże, podobne wartości własne: . Matematycznie nie byłem w stanie zrozumieć, jak i skąd się to bierze. $\min(\lambda_1,\lambda_2)>threshold$

Intuicja jest taka, że stanowi to róg; Zdobądź to. Co to ma wspólnego z wartościami własnymi? Spodziewam się, że jeśli wartości Hesji są niskie, nic się nie zmieni i nie będzie to róg. Jeśli są wysokie, to jest róg. Czy ktoś wie, w jaki sposób w wartościach własnych odwrotnego Hesji bierze udział intuicja pustkowia w celu określenia $\Delta p$ we wszystkich iteracjach modułu śledzącego KLT?

Udało mi się znaleźć zasoby, które twierdzą, że odwrotna Hesja koreluje z macierzą kowariancji obrazu. Co więcej, kowariancja obrazu wskazuje zmianę intensywności, a wtedy ma to sens ... ale nie byłem w stanie znaleźć, czym dokładnie jest matryca kowariancji obrazu w odniesieniu do obrazu, a nie wektora czy zbioru obrazów.

Również wartości własne mają znaczenie w zasadzie w analizie składowej, dlatego wpadam na pomysł macierzy kowariancji obrazu, ale nie jestem pewien, jak zastosować to do Hesji, ponieważ zwykle stosuje się to do obrazu. O ile rozumiem, Hesjan jest macierzą definiującą 2. pochodne dla , i w określonym miejscu . $2\times 2$ $x$ $y$ $xy$ $(x,y)$

Byłbym bardzo wdzięczny za pomoc w tym, ponieważ pracuję nad tym od ponad 3 dni, jest to tylko jedna mała formuła i czas się kończy.

computer-vision

— Lorem Ipsum
źródło

ok, mam już całkiem sporo dzięki zasobom internetowym dotyczącym głównej krzywizny, geomatrii różnicowej, liczby warunków macierzy (macierz dobrze uwarunkowana). Nadal muszę sformułować uzasadnione wyjaśnienie seminarium. kiedy już go zdobędę, opublikuję go tutaj lub link tej strony do seminarium.

Pomyśl o nich jako o gładkości 2D.
Im gładsza łatka, tym niższy stopień matrycy i tym bardziej zbliżona jest matryca do liczby pojedynczej.

Na prostej krawędzi (nie na rogu) tylko jedna wartość własna będzie duża.
Na rogu oba będą duże.

Użycie wartości własnych oznacza, że kąt krawędzi nie jest czynnikiem, a pod dowolnym kątem krawędź da tylko jeden duży ev

— Adi Shavit
źródło

Dziękuję za Twoją odpowiedź. znalazłem wiele zasobów dających podobne intuicje i omawiających problem z przysłoną. intuicja jest i była jasna. moje pytanie miało charakter bardziej matematyczny i kiedy znalazłem odpowiedź, okazało się, że było o wiele prostsze. tylko podstawowe właściwości macierzy. podobne wartości własne oznaczają, że macierz jest dobrze uwarunkowana, a maksymalna wartość własna jest ograniczona, więc podanie dolnej granicy sprawia, że wartości własne są podobne. ponadto wartości własne korelują z głównymi krzywiznami dla hessianu. to była informacja, której wtedy szukałem.

ponownie przeczytałem twoją odpowiedź i uważam komentarz dotyczący wartości własnych i kąta za wnikliwy. dziękuję za podzielenie się tym ze mną.

Następnie należy oznaczyć go jako „Odebrano”.

— Adi Shavit