Dlaczego autokorelacja osiąga swój szczyt na zero?

11

Wiem, że przesunięcie zera w funkcji autokorelacji jest równe jej energii, ale chciałbym zrozumieć, dlaczego szczyt ma zero.

autocorrelation

— itamarb
źródło

Oto świetne wyjaśnienie, baw się dobrze! personal.maths.surrey.ac.uk/st/J.Deane/Teach/eee2035/…

— ampholyte

10

Szukasz formalnego dowodu lub intuicji? W późniejszym przypadku: „Nic nie może być bardziej podobne do funkcji niż samo”. Autokorelacja przy opóźnieniu mierzy podobieństwo między funkcją a tą samą funkcją przesuniętą o . Zauważ, że jeśli jest okresowe, przesunięte o dowolną całkowitą wielokrotność i pokrywają się, więc autokorelacja ma kształt grzebieniowy - z pikami przy całkowitych wielokrotnościach okresu o tej samej wysokości co centralny pik. $\tau$ $f$ $\tau$ $f$ $f$ $\tau$ $f$

— fenenety
źródło

2

@JasonR Sygnał o skończonej energii (o co prosi OP, ponieważ mówi, że funkcja autokorelacji przy zerowym opóźnieniu jest energią) nie może być okresowy, więc druga połowa tej odpowiedzi nie ma zastosowania do pytania PO, ale dotyczy okresowej funkcji autokorelacji, którą określa się dla sygnałów okresowych. W mojej odpowiedzi próbowałem rozróżnić te dwa przypadki, a także wskazałem, że funkcje autokorelacji sygnałów okresowych mogą mieć okresowe doliny tak głębokie jak okresowe szczyty.

— Dilip Sarwate

@Dilip: Jak zawsze, dobre punkty.

— Jason R

nie jest to dowód, nawet blisko dowodu. tylko słowa, które działają tylko dlatego, że znasz odpowiedź.

— John Smith

7

Funkcja autokorelacji aperiodycznego sygnału energii skończonej w czasie dyskretnym jest dana przez dla sygnałów rzeczywistych i sygnałów złożonych. Ograniczając się do prawdziwych sygnałów dla łatwości prezentacji, rozważmy summand . Dla ustalonego opóźnienia i danego , zazwyczaj będzie miało wartość dodatnią lub ujemną. Jeśli tak się stanie, że dla określonego opóźnienia , jest nieujemne dla wszystkich , wówczas wszystkie warunki sumy sumują się (bez anulowania), a więc

R_{x} [n] = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] x [m - n] or R_{x} [m] = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] (x [m - n])^{*}

$R_x[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]x[m-n]~~~~ \text{or}~~~ R_x[m] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m](x[m-n])^*$

x [m] x [m - n]

$x[m]x[m-n]$

n

$n$

m

$m$

x [m] x [m - n]

$x[m]x[m-n]$

n

$n$

x [m] x [m - n]

$x[m]x[m-n]$

m

$m$

R_{x} [n]

$R_x[n]$

ma gwarancję dodatniej wartości. W rzeczywistości suma będzie największa, jeśli wszystkie szczyty w się ze szczytami w a doliny w z dolinami w . Na przykład, jeśli jest przeskalowaną funkcją sinc, powiedzmy, że ze szczytami przy and valley at , wtedy będzie miał maksima przy (i tym samym znacznikiem będzie miał

x [m - n]

$x[m-n]$

x [m]

$x[m]$

x [m - n]

$x[m-n]$

x [m]

$x[m]$

x

$x$

x [m] = {\begin{cases} \frac{\sin (0.1 π m)}{0.1 π m}, & m \neq 0, \\ 1, & m = 0 \end{cases}

$x[m] = \begin{cases} \frac{\sin(0.1 \pi m)}{0.1 \pi m}, & m \neq 0,\\ 1, & m = 0\end{cases}$

m = 0, \pm 25, \pm 45, \dots

$m = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$

\pm 15, \pm 35, \pm 55, \dots

$\pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$

x (t)

$x(t)$

R_{x} [n]

$R_x[n]$

n = 0, \pm 25, \pm 45, \dots

$n = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$ minima przy gdy szczyty wyrównują się z dolinami). Globalnym maksimum jest oczywiście na opóźnienia , gdy najwyższy pik w i pokrywają się. Rzeczywiście, wniosek ten dotyczy nie tylko tego sygnału sinusoidalnego, ale każdego sygnału. Przy opóźnieniu mamy i mamy gwarancję, że nie tylko wszystkie szczyty i doliny są ustawione w jednej linii inne (bez względu na to, gdzie występują w ), ale także, że najwyższe szczyty i najgłębsze doliny są odpowiednio ustawione.

n = \pm 15, \pm 35, \pm 55, \dots

$n = \pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$

R_{x} [n]

$R_x[n]$

n = 0

$n = 0$

x [m]

$x[m]$

x [m - n]

$x[m-n]$

n = 0

$n = 0$

R_{x} [0] = \sum_{m = - \infty}^{\infty} (x [m])^{2}

$R_x[0] = \sum_{m=-\infty}^\infty (x[m])^2$

x [m]

$x[m]$

Bardziej formalnie, dla pedantów takich jak @JohnSmith, którzy żądają formalnych dowodów, Cauchy Inequality mówi, że w przypadku sekwencji o złożonej wartości i , Bardziej szczegółowa wersja ogranicza się do sekwencji o wartościach rzeczywistych tylko w celu ułatwienia ponieważ gdzie równość trzyma się w górnej (dolnej) granicy, jeśli istnieje liczba dodatnia (ujemna) tak że , (to znaczy $u$ $v$

{| \sum_{m} u [m] (v [m])^{*} |}^{2} \leq \sum_{m} | u [m] |^{2} \sum_{n} | v [m] |^{2} .

$\left|\sum_m u[m](v[m])^*\right|^2 \leq \sum_m |u[m]|^2 \sum_n |v[m]|^2.$

- \sqrt{\sum_{m} {(u [m])}^{2} \sum_{m} {(v [m])}^{2}} \leq \sum_{m} u [m] v [m] \leq \sqrt{\sum_{m} {(u [m])}^{2} \sum_{m} {(v [m])}^{2}}

$-\sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2}$

λ

$\lambda$

u = λ v

$u = \lambda v$

u [m] = λ v [m] \forall m

$u[m]=\lambda v[m] ~ \forall m$ gdzie ( )). Uznając, że sumy w pierwiastkach kwadratowych to energie i sekwencji, możemy napisać, że Ustawienie oraz gdzie jest jakąś liczbą całkowitą, mamy to i rozpoznanie, że teraz

λ > 0

$\lambda > 0$

λ < 0

$\lambda < 0$

E_{u}

$\mathcal E_u$

E_{v}

$\mathcal E_v$

- \sqrt{E_{u} E_{v}} \leq \sum_{m} u [m] v [m] \leq \sqrt{E_{u} E_{v}}

$-\sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v}$

u [m] = x [m]

$u[m] = x[m]$

v [m] = x [m - n]

$v[m] = x[m-n]$

n

$n$

- \sqrt{\sum_{m} {(x [m])}^{2} \sum_{m} {(x [m - n])}^{2}} \leq R_{x} [n] \leq \sqrt{\sum_{m} {(x [m])}^{2} \sum_{m} {(x [m - n])}^{2}}

$-\sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2} \leq R_x[n] \leq \sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2}$

E_{u} = E_{v} = E_{x}

$\mathcal E_u = \mathcal E_v = \mathcal E_x$ , mamy to z zachowaniem równości w jednej z granic, jeśli dla wszystkich . Na koniec zauważając, że i że gdy , sekwencja jest identyczna z sekwencją (to znaczy to dodatnia liczba rzeczywista taka, że dla wszystkich ), mamy że pokazuje, że ma wartość szczytową przy

- E_{x} \leq R_{x} [n] \leq E_{x}

$-\mathcal E_x \leq R_x[n] \leq \mathcal E_x$

x [m] = λ x [m - n]

$x[m] = \lambda x[m-n]$

m

$m$

E_{x} = \sum_{m} (x [m])^{2} = R_{x} [0]

$\mathcal E_x = \sum_m (x[m])^2 = R_x[0]$

n = 0

$n=0$

u [m] = x [m]

$u[m] = x[m]$

v [m] = x [m - n] = x [m - 0] = x [m]

$v[m] = x[m-n] = x[m-0] = x[m]$

λ = 1

$\lambda = 1$

u [m] = λ v [m]

$u[m] = \lambda v[m]$

m

$m$

- R_{x} [0] \leq R_{x} [n] \leq R_{x} [0]

$-R_x[0] \leq R_x[n] \leq R_x[0]$

R_{x} [n]

$R_x[n]$

n = 0

$n=0$ , wszystkie inne wartości autokorelacji są mniejsze niż ten pik.

Gdy jest okresowym sygnałem o skończonej mocy, sumy podane powyżej dla rozbieżne. W takich przypadkach stosuje się okresową funkcję autokorelacji gdzie jest okresem , że to dla wszystkich liczb całkowitych . Zauważ, że jest okresową funkcją . Teraz, chociaż prawdą jest, żedla maksymalna wartość również jest okresowo powtarzana: $x[m]$ $R_x[n]$

R_{x} [n] = \sum_{m = 0}^{N - 1} x [m] (x [m - n])

$R_x[n] = \sum_{m=0}^{N-1} x[m](x[m-n])$

N

$N$

x [m]

$x[m]$

x [m] = x [m - N]

$x[m] = x[m-N]$

m

$m$

R_{x} [n]

$R_x[n]$

n

$n$

R_{x} [0] \geq | R_{x} [n] |

$R_x[0] \geq |R_x[n]|$

1 < n < N

$1 < n < N$

R_{x} [0]

$R_x[0]$

R_{x} [k N] = R_{x} [0]

$R_x[kN] = R_x[0]$ dla wszystkich liczb całkowitych . Należy również zauważyć, że możliwe jest, że dla niektórych , zazwyczaj przy jeśli jest parzyste, i więc możemy mieć doliny tak głębokie, jak najwyższe szczyty w okresowej funkcji autokorelacji. Najprostszym przykładem takiej sekwencji jest sytuacja, gdy a jednym okresem sekwencji jest którego okresowa autokorelacja jest tylko sekwencją okresową , to znaczy naprzemiennymi pikami i dolinami z autokorelacją o wartości szczytowej gdy

k

$k$

R_{x} [n] = - R_{x} [0]

$R_x[n] = -R_x[0]$

n \in {1, 2, \dots, N - 1}

$n \in \{1, 2, \ldots, N-1\}$

n = N / 2

$n = N/2$

N

$N$

N = 2

$N=2$

[1 - 1]

$[1 ~ -1]$

[2 - 2]

$[2 ~ -2]$

R_{x} [n]

$R_x[n]$

2

$2$

n

$n$ jest parzystą liczbą całkowitą (nie zapominaj, że jest parzystą liczbą całkowitą!) i posiadającą wartość „anti peak” przy nieparzystych wartościach . Mówiąc bardziej ogólnie, mamy to zjawisko za każdym razem, gdy jest parzyste, a jeden okres można rozłożyć na .

0

$0$

- 2

$-2$

n

$n$

N

$N$

\vec{x}

$\vec{x}$

[\vec{x^{'}}, - \vec{x^{'}}]

$[\vec{x^\prime}, -\vec{x^\prime}]$

— Dilip Sarwate
źródło

3

za pomocą

{(x [n] - x [n + m])}^{2} = x^{2} [n] + x^{2} [n + m] - 2 x [n] x [n + m]

$\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 = x^2[n] + x^2[n+m] - 2x[n]x[n+m]$

można to łatwo pokazać

\begin{aligned} R_{x} [m] & = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] x [n + m] \\ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x^{2} [n] - \frac{1}{2} \sum_{n = - \infty}^{\infty} {(x [n] - x [n + m])}^{2} \\ = R_{x} [0] - \frac{1}{2} \sum_{n = - \infty}^{\infty} {(x [n] - x [n + m])}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} R_x[m] & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]x[n+m] \\ & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x^2[n] - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ & = \ R_x[0] \quad \quad - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ \end{align}$

pierwszy składnik to po prostu a drugi składnik to liczba nieujemna odejmowana od pierwszego. oznacza to, że nie może przekraczać dla żadnego . $R_x[0]$ $R_x[m]$ $R_x[0]$ $m$

— Robert Bristol-Johnson
źródło

1

jedyna poprawna odpowiedź tutaj. wielkie dzięki, sam miałem problem z uzyskaniem tego.

— John Smith