Dlaczego ta ręczna transformacja dwuliniowa daje inne wyniki niż Matlaba?

10

Mam filtr Butterwortha pierwszego rzędu z częstotliwością odcięcia . Jego funkcja transferu jest wtedy $\omega_c$

H (s) = \frac{ω_{c}}{s + ω_{c}}

$H(s) = \frac{\omega_c}{s+\omega_c}$

Używam transformacji dwuliniowej do znalezienia (jak nazywa się ta funkcja?) $H(z)$

H (z) = \frac{ω_{do}}{\frac{2)}{T.} \frac{z - 1}{z + 1} + ω_{do}} = \frac{ω_{do} z + ω_{do}}{(\frac{2)}{T.} + ω_{do}) z + ω_{do} - \frac{2)}{T.}}

$H(z)=\frac{\omega_c}{\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1} + \omega_c} = \frac{\omega_c z + \omega_c}{\left(\frac{2}{T}+\omega_c\right)z + \omega_c-\frac{2}{T}}$

Nie mogę jednak pogodzić tego wyniku z tym, co robi Matlab. Wydaje się źle, bez względu na to, co wartość . Zakładam, że i poniżej są współczynniki . $T$ BA $H(z)$

>> [B,A] = butter(1,0.5)
B = 0.5000    0.5000
A = 1.0000   -0.0000
>> [B,A] = butter(1,0.6)
B = 0.5792    0.5792
A = 1.0000    0.1584
>> [B,A] = butter(1,0.7)
B = 0.6625    0.6625
A = 1.0000    0.3249
>> [B,A] = butter(1,0.8)
B = 0.7548    0.7548
A = 1.0000    0.5095

Co ja mylę?

filters matlab

— Andreas
źródło

MATLAB nie korzysta z konwersji analogowo-cyfrowej. Filtr jest projektowany cyfrowo, dlatego pomysł transformacji dwuliniowej może nie mieć zastosowania.

— Phonon

1

@Phonon: Ta odpowiedź wydaje się wskazywać, że Matlab w jakiś sposób używa transformacji dwuliniowej.

— Andreas,

Późno do gry, ale wszystkie wielkie litery H z / s / \ omega są zwykle nazywane funkcją przenoszenia. Gdy argumentem jest czas lub próbki, nazywa się to odpowiedzią impulsową i zwykle jest pisane małymi literami, h. Zatem funkcją przenoszenia jest transformacja (Z, Fourier, Laplace w zależności od zastosowania) odpowiedzi impulsowej.

— Emanuel Landeholm

10

Kilka rzeczy:

Przed dokonaniem podstawienia , musisz $s = \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}$ zmienić częstotliwość odcięcia, dokonując podstawienia:

ω_{c, w} = \frac{2}{T} \tan (ω_{c} \frac{T}{2})

$\omega_{c,w} = \frac{2}{T} \tan (\omega_c\frac{T}{2})$

gdzie jest wypaczoną częstotliwością odcięcia. Jest to konieczne, ponieważ transformacja dwuliniowa odwzorowuje lewą połowę płaszczyzny w domenie Laplace'a (stosowaną w projekcie filtra analogowego) na koło jednostkowe w domenie w sposób nieliniowy. Dlatego w miarę zbliżania się do częstotliwości Nyquista (częstotliwości cyfrowe ) przybliżenie prototypu filtra analogowego staje się niedokładne. $\omega_{c,w}$ $z$ $\pm \pi$

Również drugi parametr, które przechodzą do butterfunkcji jest znormalizowana częstotliwość odcięcia, a nie przedział próbkowania . Znormalizowana częstotliwość używana przez tę funkcję jest w przedziale $T$ $(0,1)$ i jest równa stosunkowi pożądanej częstotliwości odcięcia do częstotliwości Nyquista:

ω_{n} = \frac{ω_{c}}{2 π \frac{f_{s}}{2}}

$\omega_n = \frac{\omega_c}{2 \pi \frac{f_s}{2}}$

ω_{n} = \frac{ω_{c}}{π f_{s}}

$\omega_n = \frac{\omega_c}{\pi f_s}$

ω_{n} = \frac{ω_{c} T}{π}

$\omega_n = \frac{\omega_c T}{\pi}$

— Jason R.
źródło

Dziękuję Ci! Teraz otrzymuję właściwe współczynniki. Tu, są podstawione

o

w wyrażeniu

. To zadziałało, ponieważ wiem, gdzie częstotliwość odcięcia wpływa na filtr Butterwortha. Co jeśli miałbym ogólny filtr i po prostu znałem bieguny (i zera)

? Skąd mam wiedzieć, które wartości zastąpić?

ω_{c}

$\omega_c$

o m e g a_{c}, w

$omega_c,w$

H (z)

$H(z)$

H (s)

$H(s)$

— Andreas

H (s)

$H(s)$

s

$s$

z

$z$

5

Otwierając kod butterfunkcji MATLAB , widzimy, że wykorzystuje wstępne dopasowanie częstotliwości :

%# step 1: get analog, pre-warped frequencies
if ~analog,
    fs = 2;
    u = 2*fs*tan(pi*Wn/fs);
else
    u = Wn;
end

— Phonon
źródło