Przerzucanie odpowiedzi impulsowej podczas splotu

Dlaczego podczas splotu na sygnale musimy odwracać odpowiedź impulsową podczas procesu?

Na podstawie odpowiedzi na inne pytanie (jak wspomniano w komentarzu) w nadziei, że to pytanie nie będzie wielokrotnie zadawane przez Wiki Wiki jako jedno z najważniejszych pytań ...

Nie ma „odwracania” odpowiedzi impulsowej przez układ liniowy (niezmienny w czasie). Dane wyjściowe liniowego systemu niezmiennego w czasie to suma skalowanych i opóźnionych w czasie wersji odpowiedzi impulsowej, a nie „impulsowej” odpowiedzi impulsowej.

Rozkładamy sygnał wejściowy na sumę skalowanych sygnałów impulsu jednostkowego. Odpowiedź systemu na jednostkowy sygnał impulsowy to odpowiedź impulsowa lub odpowiedź impulsowa i tak według właściwości skalowania pojedyncza wartość wejściowa lub, jeśli wolisz tworzy odpowiedź ⋯ , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , ⋯ h [ 0 ] , h [ 1 ] , ⋯ , h [ n ] , ⋯ x [ 0 ] x [ 0 ] ( ⋯ , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , ⋯ ) = ⋯ 0 , 0 $x$$\cdots, ~0, ~0, ~1, ~0, ~0, \cdots$

$$h[0], ~h[1], \cdots, ~h[n], \cdots$$ $x[0]$ $$x[0](\cdots, ~0, ~0, ~1, ~0,~ 0, \cdots) = \cdots ~0, ~0, ~x[0], ~0, ~0, \cdots$$ $$x[0]h[0], ~~x[0]h[1], \cdots, ~~x[0]h[n], \cdots$$

Podobnie, pojedyncza wartość wejściowa lub tworzy tworzy odpowiedź Zauważ opóźnienie w odpowiedzi na . Możemy kontynuować w tym duchu, ale najlepiej jest przejść do bardziej tabelarycznej formy i pokazać różne wyniki odpowiednio dopasowane w czasie. Mamy $x[1]$

$$x[1](\cdots, ~0, ~0, ~0, ~1,~ 0, \cdots) = \cdots ~0, ~0, ~0, ~x[1], ~0, \cdots$$ $$0, x[1]h[0], ~~x[1]h[1], \cdots, ~~x[1]h[n-1], x[1]h[n] \cdots$$ $x[1]$ $$\begin{array}{l|l|l|l|l|l|l|l} \text{time} \to & 0 &1 &2 & \cdots & n & n+1 & \cdots \\ \hline x[0] & x[0]h[0] &x[0]h[1] &x[0]h[2] & \cdots &x[0]h[n] & x[0]h[n+1] & \cdots\\ \hline x[1] & 0 & x[1]h[0] &x[1]h[1] & \cdots &x[1]h[n-1] & x[1]h[n] & \cdots\\ \hline x[2] & 0 & 0 &x[2]h[0] & \cdots &x[2]h[n-2] & x[2]h[n-1] & \cdots\\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \\ \hline x[m] & 0 &0 & 0 & \cdots & x[m]h[n-m] & x[m]h[n-m+1] & \cdots \\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array}$$ \ ddots \ end {array} Wiersze w powyższej tablicy są dokładnie skalowanymi i opóźnionymi wersjami odpowiedzi impulsowej, które sumują się do odpowiedzi na sygnał wejściowy . $y$$x$ Ale jeśli zadasz bardziej szczegółowe pytanie, takie jak

Jaka jest wydajność w czasie ?$n$

możesz uzyskać odpowiedź, sumując kolumnę, aby uzyskać ukochaną formułę splotu, która wprawia w osłupienie pokolenia studentów, ponieważ reakcja impulsowa wydaje się być „odwrócona” lub cofnięta w czasie. Ale ludzie wydają się zapominać o tym, że zamiast tego moglibyśmy napisać więc to wejście wydaje się „przewrócone” lub biegnie wstecz w czasie! Innymi słowy, są to ludzie$n$

$$\begin{align*} y[n] &= x[0]h[n] + x[1]h[n-1] + x[2]h[n-2] + \cdots + x[m]h[n-m] + \cdots\\ &= \sum_{m=0}^{\infty} x[m]h[n-m], \end{align*}$$ $$\begin{align*} y[n] &= x[n]h[0] + x[n-1]h[1] + x[n-2]h[2] + \cdots + x[0]h[n] + \cdots\\ &= \sum_{m=0}^{\infty} x[n-m]h[m], \end{align*}$$ którzy odwracają odpowiedź impulsową (lub dane wejściowe) podczas obliczania odpowiedzi w czasie przy użyciu wzoru splotu, ale sam system nic takiego nie robi.$n$

Oto przykład C / C ++, który pokazuje, że splot można wykonać bez użycia odpowiedzi impulsowej w odwrotnej kolejności. Jeśli sprawdzisz convolve_scatter()funkcję, żadna zmienna nie zostanie nigdzie zanegowana. Jest to splot rozpraszający, w którym każda próbka wejściowa jest rozproszona (zsumowana) do wielu próbek wyjściowych w pamięci, przy użyciu wag podanych w odpowiedzi impulsowej. Jest to marnotrawstwo, ponieważ próbki wyjściowe będą musiały zostać kilkakrotnie odczytane i zapisane.

Zwykle splot odbywa się jako gromadzenie splotu, jak w convolve_gather(). W tej metodzie każda próbka wyjściowa jest tworzona osobno, poprzez zebranie (zsumowanie) próbek wejściowych, z odwróconą odpowiedzią impulsową jako odważnikami. Próbka wyjściowa znajduje się w rejestrze procesora używanym jako akumulator podczas tego procesu. Jest to zwykle metoda z wyboru, ponieważ na każdą filtrowaną próbkę przypada tylko jeden zapis pamięci. Teraz jest więcej odczytów pamięci na wejściu, ale tylko tyle, ile było odczytów pamięci na wyjściu w metodzie rozpraszania.

#include <stdio.h>

const int Nx = 5; 
const int x[Nx] = {1, 0, 0, 0, 2};
const int Ny = 3; 
const int y[Ny] = {1, 2, 3};
const int Nz = Nx+Ny-1;
int z[Nz];

void convolve_scatter() { // z = x conv y
  for (int k = 0; k < Nz; k++) {
    z[k] = 0;
  }
  for (int n = 0; n < Nx; n++) {
    for (int m = 0; m < Ny; m++) {
      z[n+m] += x[n]*y[m]; // No IR reversal
    }
  }
}

void convolve_gather() { // z = x conv y
  for (int k = 0; k < Nz; k++) {
    int accu = 0;
    for (int m = 0; m < Ny; m++) {
      int n = k+m - Ny + 1;
      if (n >= 0 && n < Nx) {
        accu += x[n]*y[Ny-m-1]; // IR reversed here
      }
    }
    z[k] = accu;
  }
}

void print() {
  for (int k = 0; k < Nz; k++) {
    printf("%d ", z[k]);
  }
  printf("\n");
}

int main() {
  convolve_scatter();
  print();
  convolve_gather();
  print();
}

Splot sekwencji:

1 0 0 0 2
1 2 3

i używając obu metod splotu wyjścia:

1 2 3 0 2 4 6

Nie mogę sobie wyobrazić nikogo używającego metody rozpraszania, chyba że filtr zmienia się w czasie, w którym to przypadku dwie metody przyniosą różne wyniki, a jedna może być bardziej odpowiednia.

Jest tylko „odwracany” do obliczeń punktowych.

@Dipip wyjaśnia, co reprezentuje całka / sumowanie splotowe, ale aby wyjaśnić, dlaczego jedna z dwóch funkcji wejściowych (często h(t)) jest odwracana do celów obliczeniowych, rozważ system dyskretny z x[n]reakcją wejściową i impulsową h[n]:

• Możesz wziąć swoją funkcję wejściową x[n]i dla każdej niezerowej * próbki x[n]obliczyć skalowaną odpowiedź impulsową z próbki ni dalej, dopóki przesunięcie czasowe nie h[n]spadnie do zera (zakładając przyczynę h[n]). Oznaczałoby to brak „odwracania” (a ściślej „odwrócenia czasu”) jednego x[n]lub drugiego h[n]. Jednak na końcu musiałbyś dodać / nałożyć wszystkie te przeskalowane + przesunięte „echa” odpowiedzi impulsowej dla każdego niezerowego x[n].

• Lub , dla wygody, możesz odwrócić w czasie jedną z funkcji dotyczących początku czasu (zwykle 0), dzięki czemu Twoje obliczenia {pomnóż, dodaj, pomnóż, dodaj, ...} zamiast {pomnóż, pomnóż, ..., dodaj , Dodaj, ...}. Daje to ten sam sygnał wyjściowy, ponieważ wykona dokładnie taką samą operację mnożenia i dodawania. Na przykład pomyśl o wkładzie wyjściowym niezerowego sygnału wejściowego w czasie 0 x[0]. Gdy k= 0 dla równania odpowiedź impulsowa zostanie odwrócona w czasie, ale nie przesunięta, dając nam pierwszą próbkę odpowiedzi, dla której jest . Następnie zwiększenie o jeden spowoduje przesunięcie w prawo o jeden krok czasowy, tak że czas zostanie odwrócony

  $$\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]h[n-k]$$ h[n]x[n]x[0]h[0]kh[n]h[n]Drugi wpis ( h[1]) będzie teraz leżał na wierzchu x[0]i czeka na pomnożenie. To da pożądany wkład x[0]h[1]w czasie n=1, tak jak zrobiłby to poprzedni sposób.

---

* Mówię niezerowe, x[n]ponieważ odpowiedź impulsowa jest skalowana do zera, nie przyczyniając się w ten sposób do ostatecznego wyniku .

$$\forall x[n] = 0$$ h[n]y[n]

Przy indeksie c [n] splot a [n] ib [n] jest taki, że:

„c [n] jest sumą wszystkich produktów (a [k] b [m]) takich, że m + k = n,” więc m = n - k lub k = n - m, co oznacza, że ​​jedna z sekwencji musi zostać odwrócony.

Dlaczego więc przede wszystkim tak zachowuje się splot? Ze względu na jego związek z mnożeniem wielomianów.

Pomnożenie dwóch wielomianów powoduje powstanie nowego wielomianu ze współczynnikami efektywności. Współczynniki wielomianu produktu określają działanie splotu. Teraz, w przetwarzaniu sygnałów, funkcje przesyłania - transformaty Laplace'a lub transformaty Z są wielomianami, przy czym każdy współczynnik wydajności odpowiada innemu opóźnieniu czasowemu. Dopasowanie współczynników produktu i mnożników powoduje, że „zwielokrotnienie w jednej reprezentacji odpowiada splotowi w transformowanej reprezentacji”.

Podczas splotu wcale nie musi wystąpić żadne „odwrócenie” odpowiedzi impulsowej ...

Jeśli jednak chcesz zapobiec jakiejkolwiek zmianie fazy, możesz zwołać sygnał z odpowiedzią impulsową, a następnie odwrócić odpowiedź impulsową i ponownie zwoić, aby anulować efekty fazowe.

W przetwarzaniu offline równie łatwo można odwrócić sygnał po pierwszym spięciu, aby dojść do tego samego wniosku (jak sugerują komentarze).

Po prostu napisz całkę konwolucji zamiast falowania ręcznego mianowicie całkowanie iloczynu i we wszystkich parach argumentów sumujących się do .

$$\int_{-\infty}^\infty f(\tau) g(t-\tau) d\tau$$ $$\iint\nolimits_{t_1+t_2 = t} f(t_1) \, g(t_2) \, dt_1\, dt_2$$ $f$$g$$t$

Teraz forma falowania dłoni wyraźnie pokazuje symetrię tutaj zaangażowaną i że nie ma tu miejsca żadne „odwracanie”. Przekształcenie go w odpowiednią całkę jednowymiarową wymaga jednak uczynienia jednego z dwóch argumentów rzeczywistą zmienną całkującą. Jest to albo znalezienie sztywnej symetrycznej formy, która nie wymaga falowania ręcznego. Ten ostatni jest trudniejszy. Zasadniczo musisz odzyskać normalizację, tworząc coś (przy użyciu funkcji / dystrybucji delty Diraca), na przykład Jeśli następnie zmienisz układ w jeden sposób, otrzymasz oraz z właściwości przesiewania operatora Dirac ∫ t 1 f ( t 1

$$\iint_{t_1,t_2} f(t_1)\,g(t_2)\,\delta(t-t_1-t_2)\,dt_1\,dt_2$$ ∫ t 1 f ( t 1 $$\int_{t_1}f(t_1)\, dt_1\int_{t_2}g(t_2) \delta(t-t_1-t_2) \,dt_2$$ $$\int_{t_1}f(t_1)\,dt_1\,g(t-t_1)$$ który jest oryginalną całką z odrobiną zmiany nazwy.