Wybór konwencji i notacji dla transformacji Fouriera?

Oto definicje transformacji Fouriera i odwrotnej transformacji Fouriera, których nauczyłem się na studiach

F (j ω) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- j ω t} d t

$F(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t}\ dt$

f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (j ω) e^{j ω t} d ω

$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j\omega t} d\omega$

Istotne cechy tej konwencji to

Transformacja niejednorodna; jednostkami w dziedzinie częstotliwości są radiany (zmienna wynosi ) $\omega$
Jednostki „w dziedzinie czasu” są w czasie (zmienna to ) $t$
Przekształcenia funkcji są oznaczone dużymi literami ( vs. ) $F$ $f$
W ściśle oznacza, że funkcja ta jest transformata Fouriera $j$ $F(j\omega)$
I oczywiście zwykła konwencja EE, że . $j=\sqrt{-1}$

Obecnie używam zupełnie innej konwencji, zasadniczo tej, która jest stosowana na wikipediach :

cech tej konwencji są

\hat{f} (ξ) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- j 2 π ξ x} d x

$\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-j2\pi\xi x}dx$

f (x) = \int_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (ξ) e^{j 2 π ξ x} d ξ

$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{j2\pi\xi x} d\xi$

Transformacja jednostkowa; jednostki w dziedzinie częstotliwości to znormalizowane częstotliwości (zmienna wynosi ) $\xi$
Jednostki „w dziedzinie czasu” są bezjednostkowe (zmienna to ) $x$
$\hat{f}$ $f$
$\xi$ $x$

Bardzo wolę tę konwencję z kilku powodów.

Korzystanie z jednolitej konwencji znacznie zwiększa symetrię i przejrzystość dualów Fouriera: porównaj
- $\mathrm{rect}(x)\leftrightarrow\mathrm{sinc}(\xi)$
- $\mathrm{sinc}(x)\leftrightarrow\mathrm{rect}(\xi)$
- $\mathrm{rect}(t)\leftrightarrow\mathrm{sinc}(\frac{\omega}{2\pi})$
- $\mathrm{sinc}(t)\leftrightarrow\mathrm{rect}(\frac{\omega}{2\pi})$
$x$ $t$ $t$
Uważam, że wielkie litery są bardziej przydatne do oznaczania zmiennych / funkcji o wartościach dyskretnych niż do reprezentowania funkcji przekształconych.
$f$ $\xi$ $\mathcal{F}\{f\}$ $\mathcal{F}{f(t)}$ $\mathcal{F}\{f\}(t)$ $\mathcal{F}\{f\}(\omega)$
$\pi$

Oczywiście próżno byłoby uznać mój wybór konwencji za lepszy od tego, z którego korzystają inni. Ale trudno mi wymyślić dobre powody, by preferować konwencję, której nauczyłem się na studiach (tj. Powody, które nie wiążą się z tradycją).

$F(j\omega)$

Czy ktoś może wymyślić inne powody, by preferować „tradycyjną” (niejednolitą) konwencję? Czy ta „tradycyjna” konwencja jest taka sama, jak nauczyłeś się kursu przetwarzania sygnału (jeśli go wziąłeś)? Która konwencja nie ty preferujesz?

fourier-transform frequency

— rtollert
źródło

Pytania dotyczące osobistych opinii nie są tak naprawdę konstruktywne dla tej witryny. Odpowiedź jest taka, że tak naprawdę nie ma znaczenia, jaka jest twoja konwencja, pod warunkiem, że poprawnie ją definiujesz, konsekwentnie i w wielu przypadkach trzymasz się wspólnej notacji używanej w twojej dziedzinie. Ważne jest, aby nie wymyślać nowych, szalonych notacji, by celowo były tępe. Nie jestem pewien, w jaki sposób osobiste preferencje i opinie są przydatne w jakimkolwiek z tych ...

— Lorem Ipsum

Rozumiem chęć unikania zwykłej opinii, ale wydaje mi się, że istnieje uzasadnione pytanie, dlaczego tradycyjne konwencje są takie, jakie są: nie jest prawdopodobne, aby były definiowane wyłącznie jako wypadki historyczne. Byłbym skłonny przepisać to pytanie, aby uniknąć pozyskiwania opinii, i skupić się na pytaniu, w jaki sposób powstały te decyzje dotyczące konwencji / zapisu w literaturze dotyczącej przetwarzania sygnałów.

— rtollert

Zapomniałeś zastąpić wszystkie 2π τ . : D

— endolith,

@endolith Pobiłeś mnie do tego :)

— Datageist

x (t)

$x(t)$

X (f)

$X(f)$

X (ω)

$X(\omega)$

Wybór konwencji powinien być najbardziej odpowiedni (lub znany) dla odbiorców, z którymi próbujesz się komunikować.

— hotpaw2
źródło

Jedną rzeczą dotyczącą używania x (t) dla sygnału jest równoległość między nimi

$y = x^2$

$y(t) = x(t)^2$

gdzie x jest nadal wejściem, a y jest nadal wyjściem, w tym przypadku są to sygnały zamiast liczb.

— endolit
źródło