Jakie jest fizyczne znaczenie splotu dwóch sygnałów?

Jeśli zwołamy 2 sygnały, otrzymamy trzeci sygnał. Co reprezentuje ten trzeci sygnał w stosunku do sygnałów wejściowych?

Operacja splotu nie ma żadnego „fizycznego” znaczenia. Głównym zastosowaniem splotu w inżynierii jest opisanie wyników liniowego systemu niezmienniczego w czasie (LTI) . Zachowanie wejścia-wyjścia systemu LTI można scharakteryzować poprzez odpowiedź impulsową , a wyjście systemu LTI dla dowolnego sygnału wejściowego można wyrazić jako splot sygnału wejściowego z odpowiedzią impulsową systemu.$x(t)$

Mianowicie, jeśli sygnał jest przyłożony do układu LTI z odpowiedzią impulsową , wówczas sygnał wyjściowy jest:h ( t $x(t)$$h(t)$

Jak powiedziałem, interpretacja fizyczna jest niewielka, ale splot jakościowy można traktować jakościowo jako „rozmazanie” energii obecnej w w pewnym czasie, zależnie od kształtu odpowiedzi impulsowej . Na poziomie inżynieryjnym (rygorystyczni matematycy nie zatwierdziliby), możesz uzyskać wgląd, przyglądając się bliżej strukturze samego integranda. Możesz myśleć o wyjściu jako sumie nieskończonej liczby kopii odpowiedzi impulsowej, z których każda jest przesunięta o nieco inne opóźnienie czasowe ( ) i skalowana zgodnie z wartością sygnału wejściowego o wartości co odpowiada opóźnieniu: .h ( t ) y ( t ) τ t x ( τ $x(t)$$h(t)$$y(t)$$\tau$$t$$x(\tau)$

Tego rodzaju interpretacja jest podobna do sprowadzania splotu w czasie dyskretnym (omawianego w odpowiedzi Atula Ingle'a) do granicy nieskończenie krótkiego okresu próbkowania, który znowu nie jest w pełni matematycznie uzasadniony, ale stanowi przyzwoicie intuicyjny sposób wizualizacji akcji dla systemu ciągłego.

Szczególnie użytecznym intuicyjnym wyjaśnieniem, które dobrze sprawdza się w przypadku sygnałów dyskretnych, jest myślenie o splotie jako „ważonej sumie ech” lub „ważonej sumie pamięci”.

Przez chwilę załóżmy, że sygnał wejściowy do dyskretnego systemu LTI z funkcją przenoszenia jest impulsem . to To tylko echo (lub pamięć) funkcji przesyłania z opóźnieniem k jednostek.δ ( n - k ) y ( n $h(n)$$\delta(n-k)$

Teraz pomyśl o arbitralnym sygnale wejściowym jako sumie ważonych funkcji . Następnie wyjście jest ważoną sumą opóźnionych wersji h (n).$x(n)$$\delta$

Na przykład, jeśli , to napisz .x ( n ) = δ ( n ) + 2 δ ( n - 1 ) + 3 δ ( n - 2 $x(n) = \{1, 2, 3\}$$x(n) = \delta(n) + 2 \delta(n-1) + 3 \delta(n-2)$

Dane wyjściowe systemu są sumą ech , i o odpowiednich wagach odpowiednio 1, 2 i 3.h ( n - 1 ) h ( n - 2 $h(n)$$h(n-1)$$h(n-2)$

Zatem .$y(n) = h(n) + 2h(n-1)+3h(n-2)$

Dobrym intuicyjnym sposobem zrozumienia splotu jest spojrzenie na wynik splotu ze źródłem punktowym.

Na przykład splot 2D punktu z wadliwą optyką Kosmicznego Teleskopu Hubble'a tworzy ten obraz:

Teraz wyobraź sobie, co się stanie, jeśli na zdjęciu są dwie (lub więcej) gwiazd: otrzymujesz ten wzór dwa (lub więcej), wyśrodkowany na każdej z gwiazd. Jasność wzoru jest związana z jasnością gwiazdy. (Pamiętaj, że gwiazda jest praktycznie zawsze źródłem punktowym).

Wzory te są w zasadzie pomnożeniem źródła punktowego przez zwinięty wzór, przy czym wynik jest zapisywany w pikselu w taki sposób, że odtwarza wzór, gdy powstały obraz jest oglądany w całości.

Mój osobisty sposób wizualizacji algorytmu splotu to pętla na każdym pikselu obrazu źródłowego. Na każdym pikselu mnoży się przez wartość zwiniętego wzoru i zapisujesz wynik na pikselu, którego względne położenie odpowiada wzorowi. Zrób to na każdym pikselu (i zsumuj wyniki na każdym pikselu), a otrzymasz wynik.

Pomyśl o tym ... Wyobraź sobie bęben, który bijesz go wielokrotnie, aby usłyszeć muzykę, prawda? Drążek bębna wyląduje na membranie po raz pierwszy z powodu uderzenia, w który będzie wibrował, gdy uderzysz go po raz drugi, wibracje wywołane pierwszym uderzeniem już do pewnego stopnia zanikły. Zatem każdy dźwięk, jaki usłyszysz, to bieżące bicie i suma zepsutej reakcji poprzednich uderzeń. Jeśli więc jest siłą uderzenia w tym momencie, wówczas uderzeniem będzie siła czas uderzeniak $x(k)$$k$$x$

Który jest

$x(k)dk$

Gdzie jest nieskończenie mały czas oddziaływania$dk$

i słyszysz dźwięk @ , wtedy upływem czasu będzie , załóżmy, że membrana bębna ma efekt rozpadu, zdefiniowany przez funkcję , gdzie jest upływem czasu, w naszym przypadku , więc odpowiedź uderzenia @ będzie . Zatem efektem w czasie t będzie pomnożenie obu, tj. .t - k h ( u ) u t - k k h ( t - k ) x ( k ) d k x ( k ) h ( t - k ) d $t$$t-k$$h(u)$$u$$t-k$$k$$h(t-k)$$x(k)dk$$x(k)h(t-k)dk$

Tak więc ogólny efekt muzyki, którą słyszymy, będzie zintegrowanym efektem wszystkich uderzeń. To także od ujemnej nieskończoności do plus nieskończoności. To jest tak zwane splotem.

Możesz także myśleć o konwolucji jako rozmazaniu / wygładzeniu jednego sygnału przez inny. Jeśli masz sygnał z impulsami i inny, powiedzmy, pojedynczy kwadratowy impuls, wynikiem będą rozmazane lub wygładzone impulsy.

Innym przykładem są dwa splątane impulsy kwadratowe wychodzące jako spłaszczony trapez.

Jeśli zrobisz zdjęcie aparatem z rozmytym obiektywem, rezultatem jest splot skupionego obrazu z funkcją rozrzutu punktowego rozogniskowania.

Rozkład prawdopodobieństwa sumy pary kości jest splotem rozkładów prawdopodobieństwa poszczególnych kości.

Długie mnożenie to splot, jeśli nie przenosisz się z jednej cyfry na drugą. A jeśli przerzucisz jedną z liczb. {2, 3, 7} splecione z {9, 4} to {8, 30, 55, 63}

      2   3   7
   X      4   9
---------------
     18  27  63 
  8  12  28
---------------
  8  30  55  63

(Możesz zakończyć mnożenie, przenosząc „6” z 63 na 55 itd.)

W sygnałach i systemach zwykle stosuje się splot z sygnałem wejściowym i odpowiedzią impulsową w celu uzyskania sygnału wyjściowego (trzeci sygnał). Łatwiej jest postrzegać splot jako „ważoną sumę przeszłych danych wejściowych”, ponieważ przeszłe sygnały wpływają również na prąd wyjściowy.

Nie jestem pewien, czy jest to odpowiedź, której szukałeś, ale niedawno nakręciłem na niej wideo, ponieważ bardzo mi to przeszkadzało. https://www.youtube.com/watch?v=1Y8wHa3fCKs&t=14s Oto krótki film. Proszę wybaczyć mój angielski lol.

Innym sposobem spojrzenia na splot jest rozważenie dwóch rzeczy:

• DANE - ilości z pewnością zepsute przez szum - i w losowych pozycjach (w czasie, przestrzeni, nazwij to)
• WZÓR = pewna wiedza o tym, jak powinny wyglądać informacje

splot DANYCH z (lustrzana symetria) WZORZA jest kolejną wielkością, która ocenia - znając WZÓR - jak prawdopodobne jest, że znajduje się on na każdej pozycji w DANYCH.

Technicznie, w każdej pozycji, ta ilość jest korelacją (jest to zwierciadło WZORCA) i tym samym mierzy prawdopodobieństwo logarytmiczne przy pewnych ogólnych założeniach (niezależny szum Gaussa). Splot pozwala obliczyć go równolegle dla każdej pozycji (w przestrzeni, czasie ...).

Splot jest całką, która wyraża stopień nakładania się jednej funkcji (powiedz ), gdy przesunął się nad inną funkcją (powiedz ), gdzie .f g ∗ $g$$f$$g*f$

Znaczenie fizyczne to sygnał przesyłany przez system LTI! Konwolucję definiuje się jako odwrócenie (jeden z sygnałów), przesunięcie, pomnożenie i suma. Wyjaśnię moją intuicję na temat każdego z nich.

1. Dlaczego w konwolucji podrzucamy jeden z sygnałów, co to znaczy?

Ponieważ ostatni punkt w reprezentacji sygnału wejściowego jest tak naprawdę pierwszym, który wchodzi do systemu (zwróć uwagę na oś czasu). Konwolucja jest zdefiniowana dla systemów niezmienników liniowo-czasowych. Wszystko dotyczy czasu i tego, jak reprezentujemy go w matematyce. W splocie są dwa sygnały, jeden reprezentuje sygnał wejściowy, a drugi odpowiedź systemu. Pierwsze pytanie tutaj brzmi: jaki jest sygnał odpowiedzi systemu? Odpowiedź systemu jest wyjściem systemu w danym czasie tna wejście z tylko jednym niezerowym elementem w danym czasie t(sygnał impulsowy, który jest przesuwany t).

2. Dlaczego sygnały są mnożone punkt po punkcie?

Ponownie odniesmy się do definicji sygnału odpowiedzi systemu. Jak powiedziano, jest to sygnał, który powstaje poprzez przesunięcie funkcji impulsu ti wykreślenie wyjścia dla każdego z nich t's. Możemy również wyobrazić sobie sygnał wejściowy jako sumę funkcji impulsowych o różnych amplitudach (skalach) i fazach. OK, więc odpowiedź systemu na sygnał wejściowy w danym czasie jest samą odpowiedzią sygnału pomnożoną (lub skalowaną przez) amplitudę sygnału wejściowego w danym czasie.

3. Co oznacza przesunięcie?

Powiedziawszy te (1 i 2), przesunięcie jest wykonywane, aby uzyskać moc wyjściową systemu dla dowolnego punktu sygnału wejściowego na raz t.

Mam nadzieję, że to wam pomoże!

[W miarę jak pytanie uderza, krótka edycja] Wyjście to wspólne filtrowanie dwóch sygnałów wejściowych lub funkcji . Innymi słowy, jak jest wygładzany przez uważany za filtr, a symetrycznie jak jest wygładzany przez uważany za funkcję wygładzania. W pewnym stopniu splot ten jest rodzajem „najmniejszej wspólnej wielokrotności” między dwoma sygnałami (zamiast liczb).x 2 x 2 x $x_1$$x_2$$x_2$$x_1$

Dłuższy „widok systemu” brzmi: Pomyśl o idealnej ( platońskiej ) wizji punktu. Głowa szpilki, bardzo cienka, gdzieś w pustej przestrzeni. Możesz go wyodrębnić jak Dirac (dyskretny lub ciągły).

Spójrz na to z daleka lub jak osoba krótkowzroczna (tak jak ja), rozmazuje się. Teraz wyobraź sobie, że punkt też na ciebie patrzy. Z punktu widzenia „punktu widzenia” możesz być także osobliwością. Punkt może być krótkowzroczny, a środek między wami obojgiem (ty jako osobliwość i punkt) może być nieprzejrzysty.

Zatem splot jest jak most nad niespokojną wodą . Nigdy nie myślałem, że mógłbym zacytować tutaj Simona i Garfunkela . Dwa zjawiska próbujące się złapać. Rezultatem jest rozmycie jednego zamazanego przez drugiego, symetrycznie. Plamy nie muszą być takie same. Rozmazanie krótkowzroczności łączy się równomiernie z rozmyciem obiektu. Symetria jest taka, że ​​jeśli rozmycie obiektu staje się upośledzeniem wzroku i odwrotnie, ogólne rozmycie pozostaje takie samo. Jeśli jeden z nich jest idealny, drugi pozostaje nietknięty. Jeśli widzisz doskonale, widzisz dokładnie rozmycie obiektu. Jeśli obiekt jest idealnym punktem, można dokładnie zmierzyć krótkowzroczność.

Wszystko to przy pewnych założeniach liniowości. Splot jest skomplikowaną operacją . W domenie Fouriera można zinterpretować go jako iloczyn rozmycia . Lub w domenie -Fourier można to interpretować jako sumę rozmycia .$\log$

Możesz sprawdzić Ale dlaczego? Intuicyjna matematyka: konwekcja

Sposób, w jaki słyszysz dźwięk w danym otoczeniu (pokoju, otwartej przestrzeni itp.), To splot sygnału audio z odpowiedzią impulsową tego otoczenia.

W tym przypadku odpowiedź impulsowa reprezentuje cechy środowiska, takie jak odbicia dźwięku, opóźnienie i prędkość dźwięku, która zmienia się w zależności od temperatury.

Aby sformułować ponownie odpowiedzi:

W przypadku przetwarzania sygnału jest to ważona suma przeszłości w teraźniejszości. Zazwyczaj jeden termin to historia napięcia na wejściu do filtra, a drugi to filtr lub inny taki, który ma „pamięć”. Oczywiście w przetwarzaniu wideo wszystkie sąsiednie piksele zajmują miejsce „przeszłości”.

Dla prawdopodobieństwa jest to prawdopodobieństwo krzyżowe dla zdarzenia, biorąc pod uwagę inne zdarzenia; liczba sposobów na uzyskanie 7 w kościach to szansa na uzyskanie: 6 i 1, 3 i 4, 2 i 5. tzn. suma prawdopodobieństw P (2) razy prawdopodobieństwo P (7-2): P ( 7-2) P (2) + P (7-1) * P (1) + .....

Konwolucja to matematyczny sposób czesania dwóch sygnałów w celu utworzenia trzeciego sygnału. Jest to jedna z najważniejszych technik DSP… dlaczego? Ponieważ za pomocą tej operacji matematycznej można wyodrębnić odpowiedź impulsową systemu. Jeśli nie wiesz, dlaczego odpowiedź impulsowa systemu jest ważna, przeczytaj o tym na stronie http://www.dspguide.com/ch6.htm . Stosując strategię rozkładu impulsów, systemy są opisywane sygnałem zwanym odpowiedzią impulsową. Konwolucja jest ważna, ponieważ wiąże trzy zainteresowane sygnały: sygnał wejściowy, sygnał wyjściowy i odpowiedź impulsową . Jest to formalna operacja matematyczna, podobnie jak mnożenie, dodawanie i całkowanie. Dodawanie wymaga dwóch liczb i daje trzecią liczbę, podczas gdy splot przyjmuje dwa sygnały i wytwarza trzeci sygnał . W systemach liniowych splot jest używany do opisania zależności między trzema interesującymi sygnałami: sygnałem wejściowym, odpowiedzią impulsową i sygnałem wyjściowym (od Stevena W. Smitha). Ponownie, jest to ściśle związane z koncepcją odpowiedzi impulsowej, którą należy o tym przeczytać.

Impuls powoduje sekwencję wyjściową, która wychwytuje dynamikę systemu (przyszłość). Odwracając tę ​​odpowiedź impulsową, używamy jej do obliczania wyniku z ważonej kombinacji wszystkich poprzednich wartości wejściowych. To niesamowita dualność.

Mówiąc najprościej, oznacza to przenoszenie danych wejściowych z jednej domeny do innej domeny, w której łatwiej nam pracować. Konwulacja jest powiązana z transformacją Laplace'a, a czasem łatwiej jest pracować w domenie s, w której możemy dokonywać podstawowych dodatków do częstotliwości. a także ponieważ transformata Laplace'a jest funkcją jeden do jednego, najprawdopodobniej nie uszkodzimy danych wejściowych. Zanim spróbujemy zrozumieć, co oznacza ogólne twierdzenie o konwekcji w znaczeniu fizycznym, powinniśmy zacząć od dziedziny częstotliwości. dodawanie i mnożenie skalarne są zgodne z tą samą regułą, że transformata Laplace'a jest operatorem liniowym. c1.Lap (f (x) + c2.Lap g (x) = Lap (c1.f (x) + c2.g (x)). Ale co to jest Lap f (x) .Lap g (x). jest co definiuje twierdzenie o konwekcji.