Jakie jest fizyczne znaczenie częstotliwości ujemnych?

83

To była jedna z dziur w moim bloku sera cheddar zrozumienia DSP, więc jaka jest fizyczna interpretacja częstotliwości ujemnej?

Jeśli masz jakiś ton fizyczny na jakiejś częstotliwości i jest on DFT, otrzymasz wynik zarówno w częstotliwości dodatniej, jak i ujemnej - dlaczego i jak to się dzieje? Co to znaczy?

Edycja: 18 października 2011 r. Podałem własną odpowiedź, ale rozszerzyłem pytanie, aby uwzględnić przyczyny, dla których MUSZĄ istnieć ujemne częstotliwości.

frequency

— Spacey
źródło

1

electronics.stackexchange.com/questions/15539/…

— endolith

Dzięki endolith, czy byłoby możliwe przekierowanie do nich tej strony? Udzieliłem odpowiedzi na moje pytanie i chciałbym podzielić się nim również z tą grupą. Wydaje mi się, że nie mam dostępu do tego obszaru ...

— Spacey

Po przeczytaniu wszystkich fizycznych znaczeń ujemnych częstotliwości, stałem się bardziej zdezorientowany. Jestem chemikiem. Mam do czynienia z cząsteczkami. Częstotliwości ujemne wskazują na niestabilność cząsteczek lub, innymi słowy, punkty siodłowe na powierzchni energii potencjalnej. Stabilna cząsteczka nie powinna mieć wyimaginowanych częstotliwości, stan przejściowy powinien mieć jedną (punkt siodłowy pierwszego rzędu). Dlaczego nie stabilna cząsteczka powinna mieć częstotliwości ujemne (częstotliwości urojone), przecież jest ona komplementarna do częstotliwości rzeczywistej.

— Prabin Rai,

2

@PrabinRai ujemne częstotliwości i częstotliwości urojone są bardzo różne. Urojona częstotliwość zamienia oscylacyjny, ograniczony kompleks wykładniczy w wykładniczo rosnący (lub malejący) zwykły wykładniczy. Częstotliwość ujemna, jak wskazują poniższe odpowiedzi, odnosi się do „przydatności” oscylacji. Nadal są funkcjami ograniczonymi, więc wyobrażam sobie, że nadal byłby „stabilny”.

— TC Proctor

106

Częstotliwość ujemna nie ma większego sensu dla sinusoid, ale transformata Fouriera nie rozbija sygnału na sinusoidy, lecz dzieli go na złożone wykładnicze (zwane również „złożonymi sinusoidami” lub „ cisoidami ”):

F (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- j ω t} d t

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \color{Red}{e^{- j\omega t}}\,dt$

Są to w rzeczywistości spirale wirujące w złożonej płaszczyźnie:

złożone wykładnicze wyświetlanie czasu oraz osi rzeczywistych i urojonych

( Źródło: Richard Lyons )

Spirale mogą być leworęczne lub praworęczne (obracające się zgodnie z ruchem wskazówek zegara lub przeciwnie do ruchu wskazówek zegara), stąd pochodzi pojęcie częstotliwości ujemnej. Możesz także pomyśleć o tym, że kąt fazowy przesuwa się do przodu lub do tyłu w czasie.

W przypadku sygnałów rzeczywistych zawsze występują dwa wykładnicze zespoły o równej amplitudzie, obracające się w przeciwnych kierunkach, tak że ich rzeczywiste części łączą się, a części urojone znoszą się, pozostawiając w rezultacie jedynie prawdziwą sinusoidę. Dlatego widmo fali sinusoidalnej ma zawsze 2 impulsy, jedną częstotliwość dodatnią i jedną ujemną. W zależności od fazy dwóch spiral mogą się one anulować, pozostawiając czysto prawdziwą falę sinusoidalną lub prawdziwą falę cosinusoidalną lub czysto wymyśloną falę sinusoidalną itp.

Składniki częstotliwości ujemnej i dodatniej są niezbędne do wytworzenia prawdziwego sygnału, ale jeśli już wiesz, że jest to prawdziwy sygnał, druga strona widma nie zapewnia żadnych dodatkowych informacji, więc często jest ręcznie pomachana i ignorowana. W przypadku ogólnego złożonego sygnału musisz znać obie strony widma częstotliwości.

— endolit
źródło

6

Podoba mi się ten opis; Myślę, że schemat dobrze to wyjaśnia.

— Jason R

1

@endolith Nice post - Widziałem to z książki Lyons btw. Wydaje mi się, że rzeczywisty punkt początkowy dla wszystkich oscylacji znajduje się w złożonej dziedzinie i że tak się składa, że możemy mierzyć tylko realistyczne oscylacje występujące na osi rzeczywistej. Tak więc, gdy mierzona jest fala fizyczna, jest ona przenoszona Z POWROTEM do złożonej dziedziny, w której widzimy jej składowe zgodne z ruchem wskazówek zegara i przeciwne. Co jest zabawne, ponieważ „prawdziwe” sygnały są „dwukrotnie bardziej skomplikowane” niż złożone sygnały ...

— Spacey,

@Mohammad: Nie wiem, czy złożone wykładnicze są bardziej „fundamentalne” niż ogólnie sinusoidy, chociaż są one w przypadku transformacji Fouriera. Możesz tworzyć złożone wykładnicze, dodając sinusoidy, i sinusoidy, dodając złożone wykładnicze. Wszystkie są tylko funkcjami. Sinusoidy generalnie pochodzą z kół, które mogą być czymś w złożonej płaszczyźnie, lub mogą być po prostu wysokością kropki na obracającym się kole.

— endolith,

@endolith Right. Niektóre z nich rozwinąłem w moim poście. Tak czy inaczej świetny post (i dzięki za link). Zyskaj głos! :-)

— Spacey,

2

@Goldname Zlicza się dodatnie i ujemne kwizoidy częstotliwości. Rzeczywiste części są w fazie i sumowane, części urojone są przeciwne do biegunowości i anulowane

— endolith

37

Powiedzmy, że masz obracające się koło. Jak opisałbyś, jak szybko się kręci? Prawdopodobnie powiedziałbyś, że obraca się z prędkością Xobrotową na minutę (rpm). Jak teraz przekazać, w jakim kierunku obraca się ta liczba? To ta sama Xprędkość obrotowa, jeśli obraca się w prawo lub w lewo. Więc drapiesz się po głowie i mówisz, no cóż, oto sprytny pomysł: użyję konwencji, +Xaby wskazać, że obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara i -Xprzeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Voila! Wymyśliłeś ujemne RPM!

Częstotliwość ujemna nie różni się od powyższego prostego przykładu. Proste matematyczne wyjaśnienie, jak wyłania się częstotliwość ujemna, można zobaczyć w transformatach Fouriera czystych tonowych sinusoidach.

$e^{\jmath \omega_0 t}\longleftrightarrow \delta(\omega+\omega_0)$

\cos (ω_{0} t) = \frac{e^{ȷ ω_{0} t} + e^{- ȷ ω_{0} t}}{2}

$\cos(\omega_0 t)=\frac{e^{\jmath \omega_0t}+e^{-\jmath \omega_0 t}}{2}$

i stąd jego para transformacji Fouriera (ponownie, ignorując stałe mnożniki):

\cos (ω_{0} t) ⟷ δ (ω + ω_{0}) + δ (ω - ω_{0})

$\cos(\omega_0 t)\longleftrightarrow \delta(\omega+\omega_0) + \delta(\omega-\omega_0)$

$\omega_0$ $-\omega_0$ $ae^{\jmath \omega_0 t}$

— Lorem Ipsum
źródło

3

dziękuję za odpowiedź - rozumiem matematykę - i jest to coś podstawowego, o czym wiem, ale nie daje nam informacji na temat fizycznego znaczenia ... Ale idąc na twój wirujący przykład - ok, więc znak częstotliwości przekazuje „ kierunek ”zmiany fazy. W porządku, ale mimo to, dlaczego sinusoid ma „dwie” częstotliwości, jedną dodatnią i jedną ujemną? Czy to dlatego, że transformata Fouriera jest „niezależna od czasu”, a więc możesz spojrzeć na prawdziwą sinusoidę w prawdziwym kierunku czasu, uzyskać + ve i spojrzeć na tę samą falę wstecz w czasie i uzyskać -ve? Dzięki.

— Spacey,

10

Nie jestem pewien, czy istnieje konkretna odpowiedź na twoje zamieszanie. Zawartość o ujemnych częstotliwościach jest konsekwencją definicji transformaty Fouriera i nie ma bezpośredniego znaczenia fizycznego. Transformacja Fouriera nie jest z natury operacją „fizyczną”, więc nie musi. Częstotliwość sinusoidy jest pochodną fazową czasu, niczym więcej. Częstotliwości ujemne są tylko matematycznym artefaktem, na którym niektórzy ludzie się rozłączają, podobnie jak w przypadku użycia „urojonych” części liczb zespolonych. Są to narzędzia analityczne używane do modelowania, niekoniecznie istniejące w świecie fizycznym.

— Jason R

3

@Mohammad Zgadzam się z Jasonem tutaj. W pewnym momencie próba skonstruowania „fizycznego” wyjaśnienia ze względu na to może tylko pogorszyć sytuację. Nie jestem pewien, czy potrafię wyjaśnić coś lepszego ...

— Lorem Ipsum,

4

Możliwym wyjaśnieniem jest to, że od momentu transformacji Fouriera prawdziwa sinusoida jest „naprawdę” sumą dwóch złożonych sinusoid wirujących w przeciwnych kierunkach. Korzystanie z analogii koła: Wyobraź sobie dwa koła na początku układu współrzędnych, obracające się z tą samą prędkością, ale w przeciwnych kierunkach, z kołkiem na każdym, który zaczyna się na (1,0). Teraz dodaj współrzędne obu pinów: y będzie zawsze wynosić 0, a x będzie prawdziwą sinusoidą.

— Sebastian Reichelt

2

@Mohammad Co wyobrażają sobie liczby urojone w sensie fizycznym?

— Lorem Ipsum

15

Obecnie mój punkt widzenia (może ulec zmianie) jest następujący

W przypadku sinusoidalnych powtórzeń sensowne są tylko częstotliwości dodatnie. Fizyczna interpretacja jest jasna. W przypadku złożonego powtarzania wykładniczego sensowne są zarówno częstotliwości dodatnie, jak i ujemne. Możliwe jest dołączenie fizycznej interpretacji do częstotliwości ujemnej. Ta fizyczna interpretacja częstotliwości ujemnej ma związek z kierunkiem powtarzania.

Definicja częstotliwości podana na wiki to: „Częstotliwość to liczba wystąpień powtarzającego się zdarzenia na jednostkę czasu”

Jeśli trzymanie się tej definicji częstotliwość ujemna nie ma sensu i dlatego nie ma fizycznej interpretacji. Ta definicja częstotliwości nie jest jednak dokładna w przypadku złożonego powtarzania wykładniczego, które może mieć również kierunek.

e^{j ω n} = \cos (ω n) + j \sin (ω n)

$e^{j\omega n} = \cos( \omega n) + j\, \sin(\omega n)$

x [n] = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} d ω X (e^{j ω}) e^{j ω n}

$x[n]= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}\!\!\!d\omega \;\;\;\;X(e^{j\omega}) e^{j\omega n}$

Jest to jednak równoważne z

x [n] = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} d ω [a (ω) \cos (ω n) + b (ω) \sin (ω n)] = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} d ω α (ω) \sin (ω n + ϕ (ω))]

$x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi}\!\!d\omega \;\;[a(\omega) \cos(\omega n) + b(\omega) \sin(\omega n)] = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi}\!\!d\omega \;\; \alpha(\omega) \sin(\omega n + \phi(\omega))]$

Zamiast więc rozważać dodatnią „sinusoidalną oś częstotliwości”, rozważa się ujemną i dodatnią „złożoną oś częstotliwości wykładniczej”. Na „złożonej osi częstotliwości wykładniczej” w przypadku sygnałów rzeczywistych dobrze wiadomo, że część częstotliwości ujemnej jest redundantna i rozważana jest tylko dodatnia „złożona oś częstotliwości wykładniczej”. Wykonując ten krok pośrednio, wiemy, że oś częstotliwości reprezentuje złożone powtórzenie wykładnicze, a nie powtórzenie sinusoidalne.

Złożone powtórzenie wykładnicze jest rotacją kołową w płaszczyźnie złożonej. Aby utworzyć sinusoidalne powtórzenie, potrzebne są dwa złożone powtórzenia wykładnicze, jedno powtórzenie zgodnie z ruchem wskazówek zegara i jedno powtórzenie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Jeśli zbudowane zostanie urządzenie fizyczne, które wytwarza sinusoidalne powtórzenie zainspirowane tym, jak powstaje sinusoidalne powtórzenie w złożonej płaszczyźnie, to znaczy przez dwa fizycznie obracające się urządzenia, które obracają się w przeciwnych kierunkach, można powiedzieć, że jedno z obracających się urządzeń ma ujemny częstotliwość, a tym samym częstotliwość ujemna ma fizyczną interpretację.

— niaren
źródło

Podoba mi się twoje wyjaśnienie ... powoli pojawia się obraz, zobacz moją odpowiedź / edytuj na pytanie.

— Spacey,

9

W wielu powszechnych zastosowaniach częstotliwości ujemne nie mają żadnego bezpośredniego znaczenia fizycznego. Rozważ przypadek, w którym występuje napięcie wejściowe i wyjściowe w pewnym obwodzie elektrycznym z rezystorami, kondensatorami i induktorami. Po prostu istnieje rzeczywiste napięcie wejściowe o jednej częstotliwości i jest pojedyncze napięcie wyjściowe o tej samej częstotliwości, ale o różnej amplitudzie i fazie.

JEDYNYM powodem, dla którego warto rozważyć złożone sygnały, złożone transformaty Fouriera i matematykę fazorów, jest w tym momencie wygoda matematyczna. Równie dobrze można to zrobić z całkowicie prawdziwą matematyką, byłoby to o wiele trudniejsze.

Istnieją różne rodzaje przekształceń czas / częstotliwość. Transformacja Fouriera wykorzystuje złożoną funkcję wykładniczą jako swoją funkcję podstawową i zastosowana do pojedynczej fali sinusoidalnej o wartości rzeczywistej powoduje zdarzenie o dwóch wartościach, które jest interpretowane jako częstotliwość dodatnia i ujemna. Istnieją inne transformacje (takie jak dyskretna transformata kosinusowa), które w ogóle nie wytwarzałyby żadnych ujemnych częstotliwości. Znowu jest to kwestia wygody matematycznej; Transformacja Fouriera jest często najszybszym i najbardziej wydajnym sposobem rozwiązania określonego problemu.

— Hilmar
źródło

Zgadzam się, z pewnością wygodniej jest pracować w złożonej dziedzinie - „problem” rośnie, ponieważ niektóre osoby twierdzą, że dla częstotliwości ujemnych nie ma fizycznego znaczenia, ale jakoś posiadają energię w dziedzinie częstotliwości. Cóż, jeśli ich tak naprawdę nie ma, to gdzie jest ta energia?

— Spacey,

3

Powinieneś przestudiować transformatę Fouriera lub szereg, aby zrozumieć częstotliwość ujemną. Rzeczywiście Fourier pokazał, że możemy pokazać wszystkie fale za pomocą niektórych sinusoid. Każda sinusoida może być pokazana z dwoma pikami przy częstotliwości tej fali, jeden po stronie dodatniej i jeden ujemny. Więc teoretyczny powód jest jasny. Ale z przyczyn fizycznych zawsze widzę, że ludzie twierdzą, że częstotliwość ujemna ma tylko matematyczne znaczenie. Ale wydaje mi się, że fizyczna interpretacja nie jest całkiem pewna; Kiedy studiujesz ruch kołowy jako zasadę dyskusji na temat fal, kierunek prędkości ruchu na półkolu jest odwrotny do drugiej połowy. Może to być powód, dla którego mamy dwa piki po obu stronach domeny częstotliwości dla każdej fali sinusoidalnej.

— Hossein
źródło

Hossein, tak, zgadzam się, że przez jakiś czas było to zagubione. Czekam na Yodę na jego opinie, ale jeśli jest to po prostu znak pochodnej fazy, to widzę problem językowy - być może źródło pomieszania z wieloma innymi ludźmi, z którymi rozmawiałem również na ten temat. Fizycznym znaczeniem „częstotliwości” jest „szybkość oscylacji” czegoś, znaczenie musi być dodatnie. Myślę, że tutaj definicje różnią się od definicji w fizyce.

— Spacey,

w = 2 * π / T

$w=2∗π/T$

f = 1 / T

$f=1/T$

1

Co oznacza odległość ujemna? Jedną z możliwości jest ciągłość, więc nie musisz odwracać Ziemi do góry nogami za każdym razem, gdy przechodzisz przez równik, i chcesz wyznaczyć swoją pozycję na północ z ciągłą pierwszą pochodną.

To samo z częstotliwością, kiedy można zrobić takie rzeczy jak modulacja FM z modulacją szerszą niż częstotliwość nośna. Jak byś to zaplanował?

— hotpaw2
źródło

Zobacz moją nową odpowiedź / edytuj pytanie

— Spacey,

1

Łatwym sposobem myślenia o tym problemie jest zobrazowanie fali stojącej. Fala stojąca (w dziedzinie czasu) może być reprezentowana jako suma dwóch przeciwnie poruszających się fal przemieszczających się (w dziedzinie częstotliwości z dodatnim i ujemnym wektorem k lub + w i -w, co jest równoważne). Oto odpowiedź na pytanie, dlaczego masz dwa składowe częstotliwości w FFT. FFT jest w zasadzie sumą (splotem) wielu takich przeciwnie falujących fal, które reprezentują twoją funkcję w dziedzinie czasu.

— użytkownik3320933
źródło

-3

Kiedyś, aby uzyskać właściwą odpowiedź na moc, trzeba było podwoić odpowiedź. Ale jeśli zintegrujesz od minus nieskończoności do plus nieskończoności, uzyskasz właściwą odpowiedź bez arbitralnego podwojenia. Więc powiedzieli, że muszą występować ujemne częstotliwości. Ale nikt tak naprawdę ich nie znalazł. Są zatem wyobrażone lub przynajmniej niewyjaśnione z fizycznego punktu widzenia.

— Doug Barr
źródło

-4

Okazało się, że jest to bardzo gorący temat.

Po przeczytaniu mnóstwa dobrych i różnorodnych opinii i interpretacji oraz pozostawieniu problemu w głowie przez jakiś czas uważam, że mam fizyczną interpretację zjawiska częstotliwości ujemnych. Uważam, że kluczową interpretacją jest tutaj to, że Fourier jest ślepy na czas. W dalszej części artykułu:

Dużo mówi się o „kierunku” częstotliwości, a tym samym o tym, jak może być + ve lub -ve. Podczas gdy nadrzędny wgląd autorów mówiących, że to nie jest stracone, to stwierdzenie jest jednak niespójne z definicją częstotliwości czasowej, dlatego najpierw musimy bardzo ostrożnie zdefiniować nasze terminy. Na przykład:

Odległość jest skalarem (zawsze może być + ve), podczas gdy przemieszczenie jest wektorem. (tzn. ma kierunek, może być + ve lub -ve, aby zilustrować kurs).
Prędkość jest skalarem (może być tylko + ve), podczas gdy prędkość jest wektorem. (tzn. znowu ma kierunek i może być + ve lub -ve).

Zatem tymi samymi żetonami

Częstotliwość czasowa jest skalarem (może być tylko + ve)! Częstotliwość jest definiowana jako liczba cykli na jednostkę czasu. Jeśli jest to przyjęta definicja, nie możemy po prostu twierdzić, że zmierza ona w „innym kierunku”. W końcu to skalar. Zamiast tego musimy zdefiniować nowy termin - wektorowy odpowiednik częstotliwości. Być może „częstotliwość kątowa” byłaby tutaj właściwą terminologią, i tak właśnie mierzy się częstotliwość cyfrowa .

Teraz nagle mamy do czynienia z pomiarem liczby obrotów w jednostce czasu (wielkość wektora, która może mieć kierunek), VS tylko liczba powtórzeń jakiejś fizycznej oscylacji.

Kiedy więc pytamy o fizyczną interpretację częstotliwości ujemnych, domyślnie pytamy również o to, w jaki sposób skalarne i bardzo rzeczywiste miary liczby oscylacji w jednostce czasu niektórych zjawisk fizycznych, takich jak fale na plaży, sinusoidalny prąd przemienny nad drutem, odwzoruj na tę częstotliwość kątową, która teraz nagle ma kierunek, w prawo lub w lewo.

Stąd, aby dojść do fizycznej interpretacji częstotliwości ujemnych, należy wziąć pod uwagę dwa fakty. Pierwszym z nich jest to, że, jak wskazał Fourier, oscylacyjny ton rzeczywisty ze skalarną częstotliwością czasową f , można skonstruować przez dodanie dwóch złożonych tonów oscylacyjnych, z wektorowymi częstotliwościami kątowymi, + wi razem-w.

\cos (ω_{0} t) = \frac{e^{ȷ ω_{0} t} + e^{- ȷ ω_{0} t}}{2}

$\cos(\omega_0 t)=\frac{e^{\jmath \omega_0t}+e^{-\jmath \omega_0 t}}{2}$

To świetnie, ale co z tego? Cóż, złożone dźwięki obracają się w przeciwnych kierunkach. (Zobacz także komentarz Sebastiana). Ale jakie znaczenie mają tutaj „kierunki”, które nadają naszym częstotliwościom kątowym status wektora? Jaka fizyczna wielkość odbija się w kierunku obrotu? Odpowiedź to czas. W pierwszym tonie złożonym czas płynie w kierunku + ve, aw drugim tonie złożonym czas płynie w kierunku -ve. Czas płynie do tyłu.

Mając to na uwadze i szybko odwracając uwagę, aby przypomnieć, że częstotliwość czasowa jest pierwszą pochodną fazy w odniesieniu do czasu (po prostu zmiana fazy w czasie), wszystko zaczyna się układać:

Fizyczna interpretacja częstotliwości ujemnych jest następująca:

Po raz pierwszy zdałem sobie sprawę, że Fourier jest zależny od czasu . Oznacza to, że jeśli się nad tym zastanowić, w analizie Fouriera lub samej transformacji nie ma niczego, co mogłoby powiedzieć, jaki jest „kierunek” czasu. Wyobraźmy sobie teraz fizycznie oscylujący układ (tzn. Prawdziwy sinusoidę, powiedzmy, prąd nad drutem), który oscyluje z pewną skalarną częstotliwością czasową, f .

Wyobraź sobie, że „patrzysz” w dół tej fali w miarę upływu czasu. Teraz wyobraź sobie obliczanie różnicy faz w każdym momencie, gdy robisz postępy. To da ci częstotliwość skalarną, a twoja częstotliwość będzie dodatnia. Na razie w porządku.

Ale poczekaj chwilę - jeśli Fourier jest ślepy na czas, to dlaczego miałby brać pod uwagę twoją falę tylko w kierunku „do przodu”? W tym kierunku nie ma nic specjalnego. Zatem przez symetrię należy również wziąć pod uwagę inny kierunek czasu. Wyobraźmy sobie teraz „patrzenie” w górę na tę samą falę (tj. Wstecz w czasie), a także wykonywanie tego samego obliczenia fazy delta. Ponieważ czas cofa się teraz, a twoja częstotliwość zmienia fazę / (czas ujemny), twoja częstotliwość będzie teraz ujemna!

Fourier naprawdę mówi, że ten sygnał ma energię, jeśli jest odtwarzany do przodu w przedziale częstotliwości f, ale TAKŻE ma energię, jeśli jest odtwarzany do tyłu w czasie, chociaż na częstotliwości bin -f. W pewnym sensie MUSI to powiedzieć, ponieważ Fourier nie ma możliwości „poznania”, jaki jest „prawdziwy” kierunek czasu!

Jak Fourier to uchwycił? Cóż, aby pokazać kierunek czasu, musi istnieć jakiś obrótbyć zastosowanym w taki sposób, aby roation w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara „patrzył” na sygnał w przedniej strzałce czasu, a roation w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara „patrzył” na sygnał tak, jakby czas płynął do tyłu. Skalarna częstotliwość czasowa, którą wszyscy znamy, powinna być teraz równa (skalowanej) wartości bezwzględnej naszej wektorowej częstotliwości kątowej. Ale w jaki sposób punkt oznaczający przemieszczenie fali sinusoidalnej może dotrzeć do punktu początkowego po jednym cyklu, a jednocześnie jednocześnie obracać się wokół koła i zachować manifestację częstotliwości czasowej, którą oznacza? Tylko jeśli główne osie tego koła składają się z pomiaru przesunięcia tego punktu względem pierwotnej sinusoidy i sinusoidy oddalonej o 90 stopni. (Dokładnie w ten sposób Fourier otrzymuje swój sinus i cosinus, na podstawie których rzutujesz za każdym razem, gdy wykonujesz DFT!). I w końcu, jak utrzymać te osie osobno? „J” gwarantuje, że wielkość na każdej osi jest zawsze niezależna od wielkości na drugiej, ponieważ nie można dodawać liczb rzeczywistych i urojonych, aby uzyskać nową liczbę w dowolnej dziedzinie. (Ale to tylko dodatkowa uwaga).

Podsumowując:

Transformacja Fouriera jest niezależna od czasu. Nie potrafi wskazać kierunku czasu. Jest to sedno częstotliwości ujemnych. Ponieważ częstotliwość = zmiana fazy / czas, za każdym razem, gdy bierzesz DFT sygnału, Fourier mówi, że jeśli czas płynie do przodu, twoja energia znajduje się na osi + ve częstotliwości, ale jeśli twój czas leci do tyłu, twoja energia jest znajduje się na osi -ve częstotliwości.

Jak pokazał wcześniej nasz wszechświat , właśnie dlatego, że Fourier nie zna kierunku czasu, obie strony DFT muszą być symetryczne i dlaczego istnienie częstotliwości ujemnych jest konieczne, a wręcz bardzo realne.

— Spacey
źródło

1

Myślę, że czytasz w tym trochę za dużo, aby uzasadnić odpowiedź, na którą już zdecydowałeś. Korzenie „ujemnych” częstotliwości zostały wskazane w innych odpowiedziach. Transformacja Fouriera wykorzystuje złożone wykładnicze jako funkcje podstawowe. Ich złożony charakter umożliwia odróżnianie znaku częstotliwości wykładniczej w miarę upływu czasu. Złożone wykładnicze są interesujące, ponieważ są funkcjami własnymi liniowych systemów niezmienniczych w czasie. To sprawia, że FT jest bardzo przydatne jako narzędzie do analizy sygnałów i systemów.

— Jason R

4

Częstotliwości ujemne, które występują w złożonym wykładniczym rozkładzie sygnałów, są częścią pakietu, który pojawia się wraz z wykorzystaniem transformaty Fouriera. Nie ma potrzeby wymyślania skomplikowanego, jakościowego wyjaśnienia tego, co mają one znaczyć.

— Jason R

1

Myślę też, że twój pierwszy pocisk mógł być w błędzie; Zawsze słyszałem odległość zwaną skalarem, podczas gdy przemieszczenie jest wielkością wektorową.

— Jason R

1

Poza tym, co powiedział Jason, naprawdę nie widzę aspektu „fizycznego” w tej odpowiedzi, który , jak mówiłeś, nie ma we wszystkich innych ...

— Lorem Ipsum,

@JasonR wiem, że mój post jest długi, ale proszę nie próbować przeczytać mój post (całkowicie) przed komentowania na nim w przyszłości. Kiedy to zrobisz, zobaczysz, że nie jest to skomplikowane, ale ładnie pasuje do tego, co wiemy do tej pory. Zobaczysz, w jaki sposób moje wyjaśnienie zostało faktycznie wyprowadzone i zbudowane na podstawie wszystkich wcześniejszych odpowiedzi i moich badań literatury.

— Spacey,