Tożsamości transformacji Fouriera

9

Znamy poniżej,

\begin{matrix} (1) & fa {x (t)} = X (fa) \end{matrix}

$\mathscr{F}\big\{x(t)\big\}=X(f) \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & fa {x (- t)} = X (- fa) \end{matrix}

$\mathscr{F}\big\{x(-t)\big\}=X(-f) \tag{2}$

\begin{matrix} (3) & fa {x^{*} (t)} = X^{*} (- fa) \end{matrix}

$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\}=X^*(-f) \tag{3}$

Teraz, jeśli jakiś sygnał

\begin{matrix} (4) & x (- t) = x^{*} (t) \end{matrix}

$x(-t)=x^*(t) \tag{4}$

Czy zatem można bezpiecznie założyć, że:

\begin{matrix} (5) & X (- fa) = X^{*} (- fa) \end{matrix}

$X(-f)=X^*(-f) \tag{5}$

czy zależy to od rodzaju sygnału?

fourier-transform continuous-signals

— zegar słoneczny
źródło

Czy są jeszcze jakieś szczegóły przed zatwierdzeniem odpowiedzi?

— Laurent Duval

13

Masz rację. Twoje ostatnie równanie jest po prostu wymyślnym sposobem na powiedzenie tego $X(f)$ jest naprawdę ceniony.

Ogólnie: jeśli jest prawdziwy w jednej domenie, jest sprzężony symetrycznie w drugiej.

— Hilmar
źródło

8

Tak, jeśli eqs. (2) i (3) przytrzymaj dla każdego „rodzaju sygnału” (który robią), a następnie (5) musi zostać wstrzymany.

Wstawiamy (4) do (2) otrzymujemy

fa {x^{*} (t)} = X (- fa)

$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\} = X(-f)$ i za pomocą (3)

X (- fa) = X^{*} (- fa)

$X(-f) = X^*(-f)$

Jeśli zastąpimy $f = - g$ dostajemy

X (sol) = X^{*} (sol)

$X(g) = X^*(g)$ co, jak już zauważył Hilmar , oznacza to

X (f)

$X(f)$ jest wartościowy. Należy tego oczekiwać, ponieważ zgodnie z (4)

x (t)

$x(t)$ wykazuje sprzężoną złożoną symetrię .

— Deve
źródło

7

Odpowiedzi @Deve i @Hilmar są technicznie doskonałe. Chciałbym przedstawić dodatkowe informacje i kilka pytań.

Po pierwsze, czy znasz sygnał spełniający tę tożsamość w odwróconym czasie / sprzężoną :

x (- t) = x^{*} (t) ?

$x(−t)=x^*(t)\,?$

Pierwszym oczywistym pomysłem jest wybór spośród sygnałów rzeczywistych i symetrycznych. Naturalnym w ramach Fouriera jest cosinus .

Teraz stajemy się nieco bardziej skomplikowani (intencja kalamburowa).

Po drugie, co z prawdziwym sinussem ? Jest antysymetryczny. Ale jeśli to pamiętasz $i^*=-i$ , funkcja $t\to i.\sin t$ również staje się rozwiązaniem. Zatem przez addytywność funkcja

t \to {mi}^{ja t}

$t\to e^{i t}$

(zwane złożonym wykładniczym lub cisoidalnym ) jest również rozwiązaniem . A jego transformacja Fouriera (jako funkcja uogólniona) jest rzeczywiście rzeczywista (choć jakoś „nieskończona”). Idąc dalej, zrobi to dowolna liniowa kombinacja kisoidów z rzeczywistymi współczynnikami.

Twoje pytanie pokazuje, jak ważna jest dualność Fouriera i jak korzystanie z niej może uprościć niektóre problemy. Jak widać w SYMMETRII DTFT DLA PRAWDZIWYCH SYGNAŁÓW :

Innymi słowy, jeśli sygnał $x(n)$ jest prawdziwe, wówczas jego spektrum to hermitian (`` sprzężony symetryczny '').

Tutaj twój podstawowy sygnał $x$ to Hermitian, a wersja Fouriera jest prawdziwa. Aby to lepiej zrozumieć, po prostu wyobraź sobie $t$ jest zmienną częstotliwości, oraz $f$ jest czas podwójny. Standardowa reprezentacja znajduje się w Cyfrowej analizie sygnałów geofizycznych i właściwości fal / złożonych symetrii .

Jest również nazywany korkociągiem / spiralą Heysera .

— Laurent Duval
źródło