Dlaczego ten wzór mory wygląda tak?

Robiłem gify transformacji Mobiusa w Matlabie i zaczęły pojawiać się dziwne wzory. Nie jestem pewien, czy potrzebna jest głębsza znajomość rodzaju pliku / algorytmu, aby zrozumieć to zjawisko, ale pomyślałem, że może istnieć wyjaśnienie czysto matematyczne. Obraz jest uzyskiwany przez kolorowanie płaszczyzny zespolonej jak szachownica, a następnie odwracanie jej przez wzięcie odwrotności sprzężonego układu złożonego. Oto psuedocode matematyki dla obrazu z danym powiększeniem $k$ :

$$\begin{align} &\mbox{checkerboard}:\mathbb C \to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{checkerboard}(z):=\begin{cases} \mbox{black} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 0\mod 2\\ \mbox{white} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 1\mod 2 \end{cases}\\ &\mbox{image} = \{z\in\mathbb C:|\Re(z)|,|\Im(z)|\leq 1\}\\ &\mbox{color}:\mbox{image}\to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{color}(z):=\mbox{checkerboard}(k/\overline{z}) \end{align}$$

A oto zdjęcia dla , i . Rozdzielczość każdego zdjęcia wynosi . Nie mam doświadczenia w przetwarzaniu sygnałów, ale chętnie się czegoś nauczę!$k=1$$k=50$$k=200$$1000\times 1000$

EDYTOWAĆ:

• Mówiąc dokładniej, dlaczego wzór mory „synchronizuje się” z rozdzielczością obrazu w niektórych punktach?
• Czy można przewidzieć wzór mory?

Musisz zrozumieć twierdzenie o próbkowaniu . W skrócie, każdy sygnał ma to, co nazywamy widmem ¹, czyli transformatą Fouriera sygnału przychodzącego w dziedzinie czasu (jeśli jest to sygnał czasu) lub w domenie przestrzennej (jeśli jest to obraz. Od transformacji Fouriera jest bijective, sygnał i jego transformacja są równoważne; w rzeczywistości często można interpretować transformatę Fouriera jako zmianę podstawy. Nazywamy to „konwersją do dziedziny częstotliwości”, ponieważ wartości transformaty Fouriera dla niskich rzędnych opisują rzeczy, które zmieniają się powoli w oryginalnym sygnale domeny (czasowej lub przestrzennej), podczas gdy zawartość o wysokiej częstotliwości jest reprezentowana przez wartości transformaty Fouriera o wysokiej pozycji.

Ogólnie takie widma mogą mieć określone wsparcie ; wsparcie to minimalny przedział, poza którym widmo wynosi 0.

Jeśli teraz używasz systemu obserwacyjnego, którego zdolność do reprodukcji częstotliwości jest ograniczona do interwału, który jest mniejszy niż wspomniane wsparcie (które, nawiasem mówiąc, często jest nieskończone, i zawsze jest nieskończone dla sygnałów, które mają skończone wydłużenie w czasie lub przestrzeni), nie może reprezentować oryginalnego sygnału w tym systemie.

W tym przypadku twój obraz ma pewną rozdzielczość - co w końcu jest faktem, że oceniasz wartość swojej funkcji w dyskretnych punktach w ustalonych, nieskończenie małych odstępach. Odwrotnością tego odstępu jest (przestrzenna) częstotliwość próbkowania.

Zatem twój obraz nie może reprezentować oryginalnego sygnału - po prostu matematycznie niemożliwe jest, aby odwzorowanie funkcji leżącej u podstaw na piksele było naprawdę równoważne funkcji oryginalnej, ponieważ wiemy, że w tym przypadku całkowity zakres częstotliwości reprezentowany przez twoją ocenę w dyskretnych punktach („próbkowanie”) to połowa częstotliwości próbkowania, a zatem coś musi pójść nie tak z częścią widma sygnału, która przekracza połowę częstotliwości próbkowania.

W rzeczywistości widmo otrzymuje aliasy - każdy składnik widmowy o częstotliwości zostaje „przesunięty” w dół o , dzięki czemu . W efekcie prowadzi to do „struktury”, w której (jak się wydaje) nie powinno jej być.$f_o \ge \frac{f_\text{sample}}{2}$$n\cdot f_\text{sample},\, n\in \mathbb Z$$|f_o-nf_\text{sample}| < \frac{f_\text{sample}}{2}$

Weź „duże” struktury ze swojego zdjęcia, które pomalowałem na zielono:

Z pewnością wygląda na to, że jest tu treść o niskiej częstotliwości - ale w rzeczywistości jest to tylko zawartość o wysokiej częstotliwości na częstotliwościach która została aliasowana do niskich częstotliwości, ponieważ była bliska całkowita wielokrotność częstotliwości próbkowania.$>\frac{f_\text{sample}}2$

Tak, tak , można przewidzieć artefakty, które przytrafiają się sygnałowi 2D podczas próbkowania, porównując jego transformatę Fouriera z przepustowością oferowaną przez częstotliwość próbkowania.

---

¹ może to różnić się od widma stosowanego w algebrze liniowej do opisu właściwości własnych operatorów.