Kowariancja a autokorelacja

13

Próbuję dowiedzieć się, czy istnieje bezpośredni związek między tymi pojęciami. Ściśle z definicji wydają się ogólnie różnymi pojęciami. Im więcej o tym myślę, tym bardziej myślę, że są bardzo podobne.

Niech będą losowymi wektorami WSS. Kowariancja, , jest dana przez gdzie oznacza pustelnik wektora. $X,Y$ $C_{XY}$

{do}_{X Y} = mi [(X - μ_{x}) (Y - μ_{y})^{H.}]

$C_{XY}=E\left[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)^H\right]$

H

$H$

Niech będzie losowym wektorem WSS. Funkcja autokorelacji, , podana jest przez $Z$ $R_{XX}$

R_{Z Z} (τ) = mi [(Z (n) - μ_{z}) {(Z (n + τ) - μ_{z})}^{H.}]

$R_{ZZ}(\tau)=E\left[\left(Z(n)-\mu_z\right)\left(Z(n+\tau)-\mu_z\right)^H\right]$

Edytuj notatkę Istnieje poprawka do tej definicji stosowanej do przetwarzania sygnałów, patrz odpowiedź Matta poniżej.

Kowariancja nie obejmuje pojęcia czasu, zakłada, że każdy element wektora losowego jest inną realizacją jakiegoś generatora losowego. Autokorelacja zakłada, że losowy wektor jest ewolucją w czasie jakiegoś początkowego losowego generatora. Jednak ostatecznie oba są tym samym matematycznym bytem, ciągiem liczb. Jeśli pozwolisz , pojawi się Czy jest coś bardziej subtelnego, czego mi brakuje? $X=Y=Z$

{do}_{X Y} = R_{Z Z}

$C_{XY}=R_{ZZ}$

autocorrelation covariance proof

— dzwonek
źródło

Definicja autokorelacji jest niepoprawnie podana w pytaniu, jak zauważył Matt

R_{Z Z} (τ)

$R_{ZZ}(\tau)$

— ijuneja,

12

Zgodnie z twoją definicją autokorelacji, autokorelacja jest po prostu kowariancją dwóch zmiennych losowych i . Ta funkcja jest również nazywana autokowariancją . $Z(n)$ $Z(n+\tau)$

Nawiasem mówiąc, w przetwarzaniu sygnału autokorelacja jest zwykle definiowana jako

R_{X X} (t_{1}, t_{2)}) = mi {X (t_{1}) X^{*} (t_{2)})}

$R_{XX}(t_1,t_2)=E\{X(t_1)X^*(t_2)\}$

tzn. bez odejmowania średniej. Autokowariancja jest podawana przez

{do}_{X X} (t_{1}, t_{2)}) = mi {[X (t_{1}) - μ_{X} (t_{1})] [X^{*} (t_{2)}) - μ_{X}^{*} (t_{2)})]}

$C_{XX}(t_1,t_2)=E\{[X(t_1)-\mu_X(t_1)][X^*(t_2)-\mu^*_X(t_2)]\}$

Te dwie funkcje są powiązane przez

{do}_{X X} (t_{1}, t_{2)}) = R_{X X} (t_{1}, t_{2)}) - μ_{X} (t_{1}) μ_{X}^{*} (t_{2)})

$C_{XX}(t_1,t_2)=R_{XX}(t_1,t_2)-\mu_X(t_1)\mu^*_X(t_2)$

— Matt L.
źródło

Jeśli spojrzymy na jako zmienną, to autokorelacja staje się funkcją tej „przerwy czasowej”, która może dostarczyć bardzo interesujących informacji o zestawie danych. Spójrz na związek między autokorelacją, dyskretnymi transformacjami Fouriera i twierdzeniem Wienera – Khinchina.

τ

$\tau$

— PhilMacKay

@PhilMacKay: Jasne, ale to działa tylko w przypadku procesów WSS. Podałem definicje ogólnego przypadku, w którym procesy niekoniecznie są stacjonarne.

— Matt L.

Tak, tak naprawdę niestacjonarne procesy mogą być denerwujące dla analizy danych, dlatego zawsze staram się usuwać trendy z danych przed użyciem moich ukochanych narzędzi statystycznych! Nie zawsze jest to jednak możliwe ...

— PhilMacKay

0

Zauważ, że twoja definicja autokorelacji zawiera dodatkowy termin , który określa przesunięcie od dwóch sekwencji liczby i . W rzeczywistości zapis ten sugeruje, że jest funkcją ciągłą zdefiniowaną dla dowolnego , podczas gdy jest skalarem. $\tau$ $Z(n)$ $Z(n+\tau)$ $R_{ZZ}(\tau)$ $\tau \in \mathbb{R}^+$ $C_{XY}$

$X=Y=Z$ $\tau = 0$ $R_{ZZ}(\tau)$

Z mojego osobistego doświadczenia (astrofizyka, różne przetwarzanie czujników) kowariancję wykorzystano jako współczynnik do sprawdzenia podobieństwa dwóch zestawów danych, a autokorelację wykorzystano do scharakteryzowania odległości korelacji, to znaczy, jak szybko dane ewoluują i stają się kolejnymi danymi całkowicie.

— PhilMacKay
źródło