Jaki jest dobry przykład procesu ergodycznego?

Próbuję znaleźć proste przykłady procesu ergodycznego. Jaki proces przychodzi ci na myśl jako dobra ilustracja jego właściwości?

Szybkie badanie ( Wikipedia , inna odpowiedź ) głównie podaje przykłady procesów nieergodycznych. Zastanawiam się także, które zjawiska ze świata rzeczywistego można modelować jako proces ergodyczny?

Załóżmy, że podam ci serię liczb i mówię, że zostały wybrane losowo. I wiesz, że nie próbuję cię oszukać. Liczby to: $3$ , $1$ , $4$ , $1$ , $5$ , $3$ , $2$ , $3$ , $4$ , $3$ .

Proponuję teraz, abyś przewidział następny, a przynajmniej będzie jak najbliżej. Który numer byś wybrał?

[Myśleć]

[Obliczać]

• Założę się, że większość czytelników prawdopodobnie wybierze liczbę od $0$ do $6$ . Z powodu ograniczonego zakresu.
• Być może liczba całkowita. Kto może zaproponować $\pi$ (nawet myśląc o pierwszych cyfrach)?
• Prawdopodobnie $2$ , $3$ lub $4$ . Może nawet $3$ .

Zasadniczo zakładasz, że podałem liczby z nieznaną regułą. Być może możesz pomyśleć (lub postawić hipotezę), że seria podanych liczb, jeśli wystarczająco długa, może zapewnić ci dobre zrozumienie reguł, które mam na myśli. Jeśli to zrobisz, postawisz hipotezę, że mój proces mentalny jest ergodyczny:

proces, w którym każda sekwencja lub znaczna próbka jest jednakowo reprezentatywna dla całości (w odniesieniu do parametru statystycznego) ( Merriam-Webster )

Tutaj nie ma sposobu, aby upewnić się, że moja seria odbywa się zgodnie z procesem ergodycznym. 3432 to PIN mojej karty, 3 błąd (zamierzałem 6, ale jestem niezdarny), 4, 3, 1 i 5 to pierwsze cyfry $\pi$ , których używam dość często. Moim następnym „numerem” byłoby C (szesnastkowo). Nie wierzę, że ten proces jest ergodyczny. Każda liczba pochodzi z różnych przepisów. Ale szczerze mówiąc nie wiem. Może podlegam siłom wyższego rzędu, które kierują mną według zasad ergodyczności.

Więc ergodyczność jest hipoteza rodzaj „prostoty” w zasadach procesu. Jak stacjonarność lub rzadkość. Rzuć zwykłą kostką o $6$ twarzach. Rzuć normalną monetą. Jeśli nic na zewnątrz nie próbuje wpłynąć na wynik (niewidzialna istota, która łapie kostkę i pokazuje wybraną twarz), prawdopodobnie wywoła proces ergodyczny.

Zamiast rzucać nieskończoną liczbą monet za pomocą nieskończonej liczby kciuków, dokładnie w tej samej sekundzie, rzucasz jedną monetą co sekundę i wierzysz, że końcowy wynik jest mniej więcej taki sam.

Ruch Browna ma również właściwości ergodyczne.

Z artykułu w Wikipedii:

mówi się, że proces stochastyczny jest ergodyczny, jeśli jego właściwości statystyczne można wywnioskować z pojedynczej, wystarczająco długiej, losowej próbki procesu.

Innymi słowy: właściwości statystyczne zestawu czasowego są takie same, jak właściwości statystyczne zestawu realizacji.

Może musimy cofnąć się o krok i porozmawiać o tym, czym jest proces stochastyczny, aby zacząć.

Wyobraź sobie, że to burzliwy dzień. Siedzisz w domu i patrzysz przez okno. Czasami widzisz liście dmuchane przez okno. Dostajesz znaczniki tablicy i rysujesz układ współrzędnych na swoim oknie, dzięki czemu możesz teraz obserwować wiele ścieżek liści i porównywać je:

Tak więc każda ścieżka jest jedną realizacją procesu stochastycznego „ścieżek liści w burzliwy dzień”.

$y$$x$

$x$$y$$x$

Zazwyczaj trudniej jest zrozumieć przypadek nieergodny (dlatego ludzie częściej szukają przykładów takich procesów).

$X(t)$$t$$X$$0$$1$$\frac{1}{2}$

$N$$m=\frac{X(1)+X(2)+\cdots}{N}$$m\to \frac{1}{2}$

Jeśli chodzi o drugą część twojego pytania, możemy użyć ergodyczności, aby uprościć problemy. Na przykład między średnią zespoloną a średnią czasową może być trudna, a nawet niemożliwa do obliczenia (lub symulacji). Ale ponieważ wiemy (lub zakładamy), że proces jest ergodyczny (tj. Są identyczne), po prostu obliczamy ten, który jest prostszy. Jako przykład mogę pomyśleć o metodach Monte Carlo (takich jak te, których używamy do modelowania wydajności błędów systemu komunikacyjnego), w których symulujemy łańcuch nadawczo-odbiorczy i powtarzamy go kilka razy i uśredniamy wyniki, aby dowiedzieć się o właściwości zestawu (takie jak prawdopodobieństwo błędu itp.).