Wypełnienie zerowe w dziedzinie częstotliwości - specjalne traktowanie X [N / 2]

Załóżmy, że chcemy interpolować sygnał okresowy z parzystą liczbą próbek (np. N = 8) poprzez wypełnianie zerami w dziedzinie częstotliwości.

Niech DFT X=[A,B,C,D,E,F,G,H]
teraz dopiszmy go do 16 próbek, aby dać Y. Każdy przykład podręcznika i samouczek online, który widziałem, wstawia zera przy dawaniu . (Następnie jest interpolowany sygnał).[Y₄...Y₁₁]
Y=[2A,2B,2C,2D,0,0,0,0,0,0,0,0,2E,2F,2G,2H]
y = idft(Y)

Dlaczego nie zamiast tego użyć Y=[2A,2B,2C,2D,E,0,0,0,0,0,0,0,E,2F,2G,2H]?

O ile mogę powiedzieć (moja wiedza matematyczna jest ograniczona):

Minimalizuje całkowitą moc
Zapewnia, że jeśli xjest wyceniony, to tak samo jesty
ynadal przecina się xwe wszystkich punktach próbki, zgodnie z wymaganiami (myślę, że dotyczy to dowolnego pmiejsca Y=[2A,2B,2C,2D,pE,0,0,0,0,0,0,0,(2-p)E,2F,2G,2H])

Dlaczego więc nigdy tak się nie dzieje?

Edycja : xniekoniecznie jest wyceniana w wartościach rzeczywistych lub ograniczona w paśmie.

dft interpolation zero-padding

— finnw
źródło

Piszesz „Każdy przykład podręcznika i samouczek online, w których widziałem wstawia zera w ...”. Czy możesz zaktualizować swój post, dodając jakieś odniesienia? Ciekawe, ponieważ piszesz również, że x niekoniecznie musi być wartościowany, a pierwsza wspomniana konstrukcja nie generuje (generalnie) rzeczywistego wyniku przez odwrotne DFT.

— niaren

@niaren oto jeden przykład: dspguru.com/dsp/howtos/…

— finnw

Warto zauważyć, że aby był naprawdę wartościowany, musisz pozwolić (tzn. Kiedy powielasz E dla „ujemnej częstotliwości” połowy wektora w dziedzinie częstotliwości, musisz go skoniugować. Sygnały, które są prawdziwe w dziedzinie czasu, mają sprzężone symetryczne DFT.

y

$y$

Y = [2 A, 2 B, 2 C, 2 D, E, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, E^{*}, 2 F, 2 G, 2 H]

$Y=[2A,2B,2C,2D,E,0,0,0,0,0,0,0,E^*,2F,2G,2H]$

— Jason R

@Jason R, jeśli sygnał wejściowy ma wartość rzeczywistą, to również E, więc [2A, 2B, 2C, 2D, E, 0,0,0,0,0,0,0,0, E, 2F, 2G, 2H] spełnia ten warunek. Jeśli dane wejściowe nie są wyceniane w czasie rzeczywistym, nie jest konieczne wymuszanie, aby dane wyjściowe były wyceniane w wartościach rzeczywistych.

— finnw

Masz rację. To właśnie dostaję za napisanie komentarza zbyt późno wieczorem.

— Jason R

Odpowiedzi:

Spójrzmy na częstotliwości pojemników w twoim 8-punktowym DFT:

\begin{matrix} ω_{A} = 0, \\ ω_{B} = π / 4, \\ ω_{C} = π / 2, \\ ω_{D} = 3 π / 4, \\ ω_{E} = π = - π (m o d 2 π), \\ ω_{F} = 5 π / 4 = - 3 π / 4 (m o d 2 π), \\ ω_{G} = 3 π / 2 = - π / 2 (m o d 2 π), \\ ω_{H} = 7 π / 4 = - π / 4 (m o d 2 π) \end{matrix}

$\begin{array}{c} \omega_A = 0,\\ \omega_B = \pi/4,\\ \omega_C = \pi/2,\\ \omega_D = 3\pi/4,\\ \omega_E = \pi = -\pi\ ({\tt mod}\ 2\pi),\\ \omega_F = 5\pi/4 = -3\pi/4\ ({\tt mod}\ 2\pi),\\ \omega_G = 3\pi/2 = -\pi/2\ ({\tt mod}\ 2\pi), \\ \omega_H = 7\pi/4 = -\pi/4\ ({\tt mod}\ 2\pi) \end{array}$ Kiedy interpolujesz 2 razy, częstotliwość punktu zmienia się na lub .

E

$E$

- π

$-\pi$

+ π

$+ \pi$

Na pierwszy rzut oka nie widzę problemu z twoim podejściem, ponieważ nie jest jasne, czy należy umieścić w koszu skojarzonym z czy . $E$ $\pi$ $-\pi$

Na stronie Juliusza O. Smitha III stwierdza warunek:

Ponadto wymagamy gdy jest parzysty, a nieparzysty nie wymaga takiego ograniczenia. $x(N/2) = x(-N/2) = 0$ $N$

A jego przykład dotyczy nieparzystego , co pozwala uniknąć problemu. $N$

Nie jestem pewien, czy jest to wymagane, ale oto pełne odniesienie do pracy Juliusa:

Smith, JO Mathematics of Discrete Fourier Transform (DFT) with Audio Applications, drugie wydanie, http://ccrma.stanford.edu/~jos/mdft/ , 2007, książka online, dostęp 28 września 2011 r.

— Peter K.
źródło

Istnieje wiele sposobów interpolacji danych. Moim zdaniem interpolacja oznacza, że „rysujesz” linie między niektórymi punktami danych. Można to zrobić na wiele sposobów. Jednym typem interpolacji, który jest przydatny w DSP (szczególnie w wielorakim DSP), jest „interpolacja pasmowa”. Jeśli google, otrzymasz wiele interesujących i przydatnych trafień. To, co proponujesz, nie jest interpolacją bez ograniczeń. W „upsamplowanym” x masz komponenty częstotliwości nieobecne w oryginalnym x.

Edycja (za długa, aby zmieściła się w komentarzu):

Istnieje dość znacząca różnica między twoją konstrukcją, zaczynając od a przykładem w podanym przez ciebie odnośniku. $X=[A,B,C,D,E,F,G,H]$

Biorąc pod uwagę prawdziwy wkład

$X=[A,B,C,D,E,D^*,C^*,B^*]$

Próbkowanie w górę o współczynnik 2 dla wejścia pełnopasmowego. W takim przypadku próbkowanie w górę można wykonać, umieszczając najpierw zera w przeplatanym wejściu (to znaczy $x_0,0,x_1,0,...$ $0-\pi/2$ $\pi/2 - \pi$

$X2=[A,B,C,D,E,D^*,C^*,B^*,A,B,C,D,E,D^*,C^*,B^*]$

$\pi/2$

$y_n = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x2_k sinc(0.5n - k)$

W praktyce jednak wystąpią pewne zniekształcenia, ponieważ filtr ceglany nie jest realistyczny. Praktyczny filtr może tłumić / usuwać częstotliwości na wejściu lub pozostawić niektóre komponenty częstotliwości na obrazie w sygnale o podwyższonej częstotliwości próbkowania. Lub filtr może kompromis między nimi. Myślę, że twoja konstrukcja w dziedzinie częstotliwości również odzwierciedla ten kompromis. Te dwa przykłady reprezentują dwie różne opcje:

$Y=[A,B,C,D,E,0,0,0,0,0,0,0,E^*,D^*,C^*,B^*]$

$Y=[A,B,C,D,0,0,0,0,0,0,0,0,0,D^*,C^*,B^*]$

Jeśli sygnał wejściowy jest ograniczony pasmem poniżej częstotliwości nyquista, jak w twoim dokumencie, problem znika.

$\rho$

$Y=[A,B,C,D,\rho,0,0,0,0,0,0,0,\rho^*,D^*,C^*,B^*]$

— niaren
źródło

x

$x$

@leftaroundabout Oryginalny x ma pasmo ograniczone (w tym przykładzie do częstotliwości Nyquista). OP chce zwiększyć x dwukrotnie (moja interpretacja). Jednym sposobem na zwiększenie próbki x jest wstawienie zer w odpowiedzi częstotliwościowej, jak pokazano przez OP (przykład bez E, ten pokazany w podręcznikach DSP) i wykonanie odwrotnej FFT. Wierzę, że to samo można było osiągnąć, wstawiając zera (przepleciony) do x i (dolnoprzepustowy) filtr przez sinc. Po wstawieniu E, jak pokazano przez OP, próbkowany w górę x nie jest ograniczony do pierwotnej częstotliwości Nyquista. Zazwyczaj nie jest to pożądane (jest to zniekształcenie). Czy sie zgadzasz?

— niaren

E

$E$

\frac{π}{2} \sim \frac{- π}{2}

$\frac\pi2\sim\frac{-\pi}2$

Zakładam, że częstotliwość ± N / 2 jest obecna w x. Jeśli tak nie jest (z powodu ograniczenia pasma lub w inny sposób), E i tak będzie równe 0, więc nie będzie różnicy między dopełnianiem za pomocą E (lub 2E) a dopełnianiem za pomocą 0.

— finnw

Sygnał o ograniczonym paśmie może nadal mieć zawartość w przedziale N / 2 z powodu „wycieku widmowego” z dowolnej zawartości widma nieokresowego w otworze DFT, szczególnie w pobliżu (ale nie w) Fs / 2.

— hotpaw2