Dlaczego system LTI nie może generować nowych częstotliwości?

9

Dlaczego $Y (\omega) = X(\omega)H(\omega)$ oznacza, że system LTI nie może generować nowych częstotliwości?
Dlaczego jeśli system generuje nowe częstotliwości, to nie jest to LTI?

convolution time-frequency

— UŻYTKOWNIK
źródło

15

Jedną z ostatecznych cech systemów LTI jest to, że nie mogą one generować żadnych nowych częstotliwości, które nie są jeszcze obecne na ich wejściach. Należy pamiętać, że w tym kontekście częstotliwość odnosi się do sygnałów tego typu $x(t)=e^{j\Omega_0 t}$ lub $\cos(\Omega_0 t)$ które mają nieskończony czas trwania i są również nazywane funkcjami własnymi układów LTI (specjalnie tylko dla złożonego wykładniczego) i których transformaty Fouriera CT są wyrażane przez funkcje impulsowe w dziedzinie częstotliwości jako $X(\Omega) =2\pi \delta (\Omega - \Omega_0)$ lub $X(\Omega)=\pi \delta (\Omega - \Omega_0) + \pi \delta (\Omega + \Omega_0)$ odpowiednio

Jednym ze sposobów zobaczenia, dlaczego tak jest, jest obserwacja CTFT, $Y(\omega)$ , wyniku $y(t)$ , co daje dobrze znana relacja $Y(\omega) = H(\omega)X(\omega)$ tylko wtedy, gdy system jest LTI (i tak naprawdę stabilny , więc tak $H(e^{j \omega})$ istnieje).

(to znaczy

y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} x (τ) h (t - τ) re τ ⟷ Y (ω) = X (ω) H. (ω),

$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau \longleftrightarrow Y(\omega)=X(\omega)H(\omega),$ obowiązuje tylko wtedy, gdy odpowiedź impulsowa

h (t)

$h(t)$ istnieje i będzie istniał tylko wtedy, gdy system jest LTI).

Z krótkiej myśli, kierując się prostym graficznym wykresem i używając powyższej właściwości mnożenia, widać, że region częstotliwości wsparcia $R_y$ (zestaw częstotliwości, dla których $Y(\omega)$ jest różna od zera) wyniku $Y(\omega)$ jest podane przez przecięcie regionów wsparcia $R_x$ i $R_h$ wejść $X(\omega)$ i pasmo przenoszenia $H(\omega)$ systemu LTI:

R_{y} = R_{x} \cap R_{h}

$R_y = R_x \cap R_h$

A ze zbioru algebry wiemy, że jeśli $A = B \cap C$ następnie $A \subset B$ i $A \subset C$ . Oznacza to, że przecięcie jest zawsze mniejsze lub równoważne z tym, co jest przecinane. Dlatego region wsparcia dla $Y(\omega)$ będzie mniejsze lub co najwyżej równe poparciu dla $X(\omega)$ . Dlatego na wyjściu nie będą obserwowane żadne nowe częstotliwości.

Ponieważ ta właściwość jest warunkiem koniecznym do bycia systemem LTI , dlatego każdy system, który go nie posiada, nie może być LTI.

— Fat32
źródło

9

Możesz zrobić prosty argument algebraiczny, biorąc pod uwagę przesłankę, którą podałeś. Gdyby:

Y (ω) = X (ω) H. (ω)

$Y(\omega) = X(\omega) H(\omega)$

gdzie $X(\omega)$ oznacza widmo sygnału wejściowego i $H(\omega$ ) to odpowiedź częstotliwościowa systemu, więc oczywiste jest, że jeśli istnieje $\omega$ w sygnale wejściowym, dla którego $X(\omega) = 0$ , następnie $Y(\omega) = 0$ także; nie ma czynnika $H(\omega)$ które można pomnożyć, aby uzyskać niezerową wartość.

Powiedziawszy to, ustalenie prawdziwości założenia, które zacząłem powyżej dla systemów LTI, zajmuje trochę pracy. Jeśli jednak założymy, że to prawda, to fakt, że system LTI nie może wprowadzić żadnych nowych komponentów częstotliwości do swojego wyjścia, wynika bezpośrednio.

— Jason R.
źródło

dowodem byłoby wykazanie, że dla każdego wystarczająco dobrze wychowanego sygnału transformata Fouriera jest odwracalna, a zarówno FT, jak i jego odwrotność są liniowe. Każdy sygnał o częstotliwości jest wystarczająco dobrze wychowany.

— Marcus Müller,

3

Dlaczego $Y(ω)=X(ω)H(ω)$ oznacza, że system LTI nie może generować nowych częstotliwości?

Jeśli określona częstotliwość $\omega_\text{abs}$ nie jest obecny w naszych danych wejściowych, $X(\omega_\text{abs}) = 0$ . Ponieważ 0 przestrzega multiplikatywnej tożsamości $\forall x\in \mathbb{R},~ 0 \cdot x = 0$ , $Y(\omega_\text{abs}) = 0$ . Zatem częstotliwość $\omega_\text{abs}$ nie występuje w sygnale wyjściowym.

Dlaczego jeśli system generuje nowe częstotliwości, to nie jest to LTI?

Powiedzmy, że nasz wkład to $x(t) = \cos(t)$ . Jeśli założymy, że nasz system może generować nowe częstotliwości, możliwe jest uzyskanie mocy wyjściowej $y(t) = \cos(2\cdot t)$ . Ponieważ nie możemy znaleźć stałych $c_1, c_2$ takie, że $y(t) = c_1 \cos(t - c_2)$ , nasz system nie jest LTI.

— Scott
źródło

Czy do sprawdzania LTI nie używa się tylko c1, a nie także c2?

— USER

1

powiedziałbym, że pierwszy punkt, który polega zasadniczo na tym, że nie można uzyskać czegoś niezerowego przez pomnożenie zera razy wszystko, to jest zwięzła odpowiedź.

— robert bristow-johnson

c1 służy do liniowości, c2 służy do przesunięcia czasowego. Moglibyśmy mieć system LTI, który opóźnia wszystko o 1 jednostkę czasu.

— Scott

1

System LTI jest ukośny przez czyste częstotliwości . Sinus / cosinus to wektory własne układu liniowego. Innymi słowy, każde pojedyncze niezerowe wejście sinus lub cosinus (lub złożony cisoid) ma wyjście sinusoidalne lub cosinusowe o tej samej częstotliwości dokładnie (ale amplituda wyjściowa może zniknąć).

Jedyne, co może się zmienić, to ich amplituda lub faza. Dlatego jeśli nie masz sinusoidy o danej częstotliwości na wejściu, nie otrzymujesz nic (zero) przy tej częstotliwości na wyjściu.

Na drugie pytanie odpowiada odpowiedź lub regula falsi: if $A\implies B$ jest prawdą, tak jest $\overline{B}\implies \overline{A}$ . Jeśli system jest LTI, nie generuje nowych częstotliwości. Jeśli system generuje nowe częstotliwości, nie jest to LTI.

— Laurent Duval
źródło