Jak zbudować przesuwnik fazy z dowolnym przesunięciem fazy

Fred, inżynier DSP, idzie do swojego ulubionego sklepu DSP na zakupy.

Fred: Cześć, chciałbym kupić przesuwnik fazowy.

Sprzedawca: Hmm, co dokładnie masz na myśli?

Fred: Cóż, wiesz, jeśli wstawisz sinusoidę taką jak , otrzymasz na wyjściu, dla dowolnego . I oczywiście musi być regulowana.y ( t ) = sin ( ω 0 t - θ ) ω 0$x(t)=\sin(\omega_0t)$$y(t)=\sin(\omega_0t-\theta)$$\omega_0$$\theta$

Sprzedawca: Och, rozumiem. Przepraszamy, nie mamy takich. Ale pamiętam, że inni faceci potrzebowali tego samego i zawsze kupują transformator Hilberta, kilka multiplikatorów i sumator, i jakoś łączą te wszystkie rzeczy razem, aby uzyskać regulowany przesuw fazy.

Fred: O tak, racja!

Fred udaje, że rozumie, o czym mówi ten facet. Oczywiście nie ma pojęcia, jak to zrobić. Kupuje wszystko, co facet powiedział, że potrzebuje, i myśli sam, że może to wymyślić w domu, a jeśli wszystko inne zawiedzie, może zapytać o to w DSP.SE.

Jak Fred może zbudować przesuwnik fazowy z regulowanym przesunięciem fazowym przy użyciu komponentów, które dostał w sklepie?$\theta$

Fajne pytanie! Wykorzystuje jedną z moich ulubionych tożsamości trig (która może być również użyta do pokazania, że ​​modulacja kwadraturowa jest w rzeczywistości jednoczesną modulacją amplitudy i fazy).

Przekształcenie Hilberta w to . Ponadto (ograniczone do ), z . To sugeruje jedno możliwe podejście. Powiedz, że Fred potrzebuje radianów. Oblicza . Potem potrzeba znalezienia i tak, że i , z i , co jest prostym problemem Algebra. Ustaw , ,- cos ( 2 π f 0 t ) sin ( 2 π f 0 t + θ ) = a sin ( 2 π f 0 t ) + b cos ( 2 π f 0 t ) a 2 + b 2 = 1 θ = atan2 ( b $\sin(2\pi f_0t)$$-\cos(2\pi f_0t)$

$$\sin(2\pi f_0t+\theta)=a\sin(2\pi f_0t)+b\cos(2\pi f_0t)$$ $a^2+b^2=1$θ = 2,1 tan ( 2,1 ) ≈ - 1,71 a b a 2 + b 2 = 1 b / a = - 1,71 a < 0 b > 0 a 0 = - 1 b 0 = 1,71 n = $\theta=\text{atan2}(b,a)$$\theta=2.1$$\tan(2.1)\approx-1.71$$a$$b$$a^2+b^2=1$$b/a=-1.71$$a<0$$b>0$$a_0=-1$$b_0=1.71$ a=a0/nb=b0/na-$n=\sqrt{a_0^2+b_0^2}$ , oraz . Następnie Fred można łatwo wygenerować sinus o pożądanej fazy za pomocą transformatora Hilberta, dwa mnożniki, dwa źródła DC (jeden zestaw do woltów, a drugi do woltów, aby dbać o znaku cosinus), a jeden sumator.$a=a_0/n$$b=b_0/n$$a$$-b$

Reakcję impulsową opisanego powyżej układu zapewnia:

$a\delta(t)+\frac{b}{\pi t}$

Schemat blokowy:

Odpowiedź MBaz jest poprawna. Chciałbym tylko dodać inny sposób myślenia o tym, oczywiście prowadząc do tego samego rezultatu:

Idealny przesuwnik fazy z przesunięciem fazowym ma odpowiedź częstotliwościową które można przepisać jako Wytrenowane oko rozpozna jako odpowiedź częstotliwościową idealnego transformatora Hilberta. Odpowiednia odpowiedź impulsowa to . W konsekwencji, w odpowiedzi impulsowej przesuwnika fazowego idealnie jest , która może być w formie ważone równoległe połączenie transformatora Hilberta i kawałka drutu z ciężarkami$\theta$

$$H(\omega)=\begin{cases}e^{-j\theta},&\omega>0\\e^{j\theta},&\omega<0\end{cases}$$ $$H(\omega)=e^{-j\theta\text{sign}(\omega)}=\cos(\theta)-j\,\text{sign}(\omega)\sin(\theta)$$ $G(\omega)=-j\,\text{sign}(\omega)$ h(t)=cos(θ)δ(t)+sin(θ)$g(t)=\frac{1}{\pi t}$ sin(θ)cos(θ $$h(t)=\cos(\theta)\delta(t)+\sin(\theta)\frac{1}{\pi t}$$ $\sin(\theta)$ i .$\cos(\theta)$

Należy zauważyć, że ten system można całkiem dobrze przybliżyć w praktycznej implementacji (w czasie dyskretnym). Wystarczy wziąć dobrze zaprojektowany transformator Hilberta z fazą liniową FIR o długości i dodać opóźnienie próbek do drugiej ścieżki sygnału.$2N+1$$N$