Czy transformacja Laplace'a jest zbędna?

Transformata Laplace'a jest uogólnieniem transformaty Fouriera, ponieważ transformata Fouriera jest transformatą Laplace'a dla (tzn. jest czystą liczbą urojoną = zero rzeczywistej części ). $s = j\omega$ $s$ $s$

Przypomnienie:

Transformacja Fouriera: $X(\omega) = \int x(t) e^{-j\omega t} dt$

Przekształcenie Laplace'a: $X(s) = \int x(t) e^{-s t} dt$

Poza tym sygnał można dokładnie odtworzyć na podstawie transformacji Fouriera, a także transformaty Laplace'a.

Ponieważ do rekonstrukcji potrzebna jest tylko część transformaty Laplace'a (część, dla której ), reszta transformacji Laplace'a ( ) wydaje się być nieprzydatna do rekonstrukcji ... $\Re(s) = 0$ $\Re(s) \neq 0$

Czy to prawda?

Czy można również zrekonstruować sygnał dla innej części transformaty Laplace'a (np. Dla lub )? $\Re(s)=5$ $\Im(s)=9$

A co się stanie, jeśli obliczymy transformatę Laplace'a sygnału, a następnie zmienimy tylko jeden punkt transformaty Laplace'a i obliczymy transformatę odwrotną: czy wrócimy do pierwotnego sygnału?

fourier-transform laplace-transform

— Vinz
źródło

Dlaczego głosowanie negatywne? Nawet jeśli pytanie może zawierać fałszywe wnioski, z czym bardzo dobrze sobie poradzisz w komentarzu lub odpowiedzi. Ciche głosowanie na pytanie, na które ktoś najwyraźniej włożył trochę wysiłku, nie jest zbyt konstruktywne.

— Jazzmaniac

głosowałem za pytaniem. jeśli myślę w kategoriach częstotliwości kątowej

, to lubię powiedzieć, że transformata Fouriera:

i transformata Laplace'a:

. to jest całkiem jasne, że to to samo (trochę).

ω

$\omega$

X (jot ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) {mi}^{- jot ω t} re t

$X(j\omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j \omega t} \ dt$

X (s) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) {mi}^{- s t} re t

$X(s) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} \ dt$

— robert bristow-johnson

Transformacja Fouriera i Laplace'a ma oczywiście wiele wspólnych cech. Są jednak przypadki, w których można użyć tylko jednego z nich lub gdy wygodniej jest użyć jednego lub drugiego.

Po pierwsze, chociaż w definicjach po prostu zamieniasz na lub odwrotnie, aby przejść od jednej transformacji do drugiej, zasadniczo nie można tego zrobić, jeśli otrzymamy transformatę Laplace'a lub transformatę Fouriera funkcji. (Używam różnych wskaźników, ponieważ dwie funkcje mogą być różne dla tej samej funkcji w dziedzinie czasu). Istnieją funkcje, dla których istnieje tylko transformata Laplace'a, np. , $s$ $j\omega$ $X_L(s)$ $X_F(j\omega)$ $f(t)=e^{at}u(t)$ , gdzie jest funkcją kroku Heaviside. Powodem jest to, że całka w definicji transformaty Laplace'a jest zbieżna tylko dla , co oznacza, że odpowiednia całka w definicji transformaty Fouriera nie jest zbieżna, tj. Transformacja Fouriera w tym przypadku nie istnieje walizka. $a>0$ $u(t)$ $\Re\{s\}>a$

$X_F(j\omega)\neq X_L(j\omega)$ $f(t)=\sin(\omega_0t)u(t)$

$s=j\omega$ $s$ $s$ $-\infty<t<\infty$ $f(t)=\sin(\omega_0 t)$ $f(t)=\sin(\omega_ct)/\pi t$

$s$

Zobacz także tę odpowiedź na powiązane pytanie.

— Matt L.
źródło

Transformacja Fouriera jest przydatnym narzędziem do analizy idealnych (nie przyczynowych, niestabilnych) układów: powiedziałbyś, że przyczynowo-stabilny?

— Vinz,

@ user17604: Miałem na myśli to, co napisałem. Oczywiście można go również używać do układów przyczynowych i stabilnych (i nie idealnych). Ale jednym ważnym zastosowaniem jest analiza idealnego układu (takiego jak idealne filtry selektywne częstotliwościowo), w którym nie można zastosować transformaty Laplace'a.

— Matt L.,

@MattL. Świetna odpowiedź, ale pomyślałem, że „analizowanie systemów LTI z niezerowymi warunkami początkowymi” jest mylące, w jaki sposób system LTI może mieć niezerowe warunki początkowe?

@ 0MW: Tak, prawdopodobnie powinienem powiedzieć „systemy, które w przeciwnym razie są LTI (jeśli początkowo są w stanie spoczynku)”.

— Matt L.