Rozumiem transformatę Fouriera, która jest operacją matematyczną, która pozwala zobaczyć zawartość częstotliwości danego sygnału. Ale teraz w mojej komunikacji. Oczywiście profesor przedstawił transformację Hilberta.

Rozumiem, że jest to w pewnym stopniu powiązane z zawartością częstotliwości, biorąc pod uwagę fakt, że transformacja Hilberta zwielokrotnia FFT przez nazwa lub splot funkcji czasowej z .$-j\operatorname{sign}(W(f))$$1/\pi t$

Jakie jest znaczenie transformacji Hilberta? Jakie informacje otrzymujemy, stosując tę ​​transformację do danego sygnału?

Jednym zastosowaniem transformacji Hilberta jest uzyskanie tak zwanego sygnału analitycznego. Dla sygnału $s(t)$ , jego transformacji Hilberta s ( t ) jest zdefiniowana jako kompozycja:$\hat{s}(t)$

Sygnał analityczny, który otrzymujemy, jest złożony, dlatego możemy wyrazić go w notacji wykładniczej:

gdzie:

$A(t)$ jest chwilową amplitudą (obwiednią)

$\psi(t)$ jest fazą chwilową.

Więc w jaki sposób są one pomocne?

Chwilowa amplituda może być użyteczna w wielu przypadkach (jest szeroko stosowana do znajdowania obwiedni prostych sygnałów harmonicznych). Oto przykład odpowiedzi impulsowej:

Po drugie, na podstawie fazy możemy obliczyć częstotliwość chwilową:

Co ponownie jest pomocne w wielu zastosowaniach, takich jak wykrywanie częstotliwości tonu zamiatania, silniki obrotowe itp.

Inne przykłady użycia obejmują:

• Próbkowanie sygnałów wąskopasmowych w telekomunikacji (głównie przy użyciu filtrów Hilberta).

• Obrazowanie medyczne.

• Przetwarzanie tablic dla kierunku przybycia.

• Analiza odpowiedzi systemu.

$\cos(t)$$-1$$1$$\cos(t)+i\sin(t)$ zachowuje wszystkie początkowe informacje, a jego „amplituda” jest bezpośrednio modułem 1. Wszystkie powyższe wymagają ostrożności, ponieważ w grę wchodzi pojęcie ograniczenia pasma i lokalizacji.

Transformacja Hilberta (i transformacja Riesz w wyższych wymiarach) może być bardziej podstawowym narzędziem. Podoba mi się prolog rozdziału 2 w Wyjaśnieniach analizy harmonicznej z zastosowaniem teorii teorii funkcji zespolonych i grupy Heisenberga autorstwa Stevena G. Krantza:

Prolog: Transformacja Hilberta jest bez wątpienia najważniejszym operatorem w analizie. Powstaje w tak wielu różnych kontekstach, a wszystkie te konteksty są ze sobą powiązane głęboko i wpływowo. Wszystko sprowadza się do tego, że w wymiarze 1 jest tylko jedna pojedyncza całka i jest to transformata Hilberta. Filozofia jest taka, że ​​wszystkie istotne pytania analityczne sprowadzają się do pojedynczej całki; a w pierwszym wymiarze jest tylko jeden wybór.

Zastosowania w przetwarzaniu sygnału / obrazu są liczne, być może ze względu na jego podstawowe właściwości: natychmiastowe oszacowanie amplitudy / częstotliwości, konstrukcja filtrów przyczynowych tylko dla amplitudy (relacje Kramersa-Kröniga), falki kierunkowe 2D małej nadmiarowości, wykrywanie krawędzi niezmiennika przesunięcia, itp.

Sugerowałbym również dwa tomy F. Kinga, 2009, Hilbert przekształca .

Transformacja (FT lub Hilbert itp.) Nie tworzy nowych informacji z niczego. Zatem „otrzymana informacja” lub dodatkowy wymiar wynikowego sygnału kompleksu analitycznego dostarczonego przez transformację Hilberta sygnału 1D / rzeczywistego jest formą podsumowania środowiska lokalnego każdego punktu tego sygnału, połączonego z tym punkt.

Informacje takie jak lokalna faza i amplituda obwiedni to tak naprawdę informacje o pewnej szerokości lub zasięgu (do nieskończonego zakresu) sygnału otaczającego każdy punkt lokalny. Transformacja Hilberta, generując jeden składnik złożonego sygnału analitycznego z sygnału rzeczywistego 1D, zagęszcza pewne informacje z otaczającego zasięgu sygnału do każdego pojedynczego punktu sygnału, umożliwiając w ten sposób podejmowanie większej liczby decyzji (np. Trochę demodulując , wykresowanie amplitudy obwiedni itp.) w każdym lokalnym (teraz złożonym) punkcie lub próbce, bez konieczności ponownego skanowania i / lub przetwarzania nowego okna (falka, okienko Goertzel itp.) o pewnej szerokości na sygnał na każdym punkt.

Sygnał analityczny wytwarzany przez transformację Hilberta jest użyteczny w wielu aplikacjach do analizy sygnałów. Jeśli najpierw przefiltrujesz filtr pasmowo, reprezentacja sygnału analitycznego daje informacje o lokalnej strukturze sygnału:

• $\pi$$\pm \pi/2$
• amplituda wskazuje siłę struktury w punkcie, niezależnie od symetrii (fazy).

Ta reprezentacja została wykorzystana do

• wykrywanie funkcji za pomocą lokalnej energii (amplituda)
• klasyfikacja funkcji za pomocą fazy
• wykrywanie funkcji poprzez zgodność faz

Rozciąga się również na wyższe wymiary za pomocą transformacji Riesz, na przykład sygnału monogenicznego.

Zaimplementowanie transformacji Hilberta umożliwia nam utworzenie sygnału analitycznego na podstawie oryginalnego sygnału o wartości rzeczywistej. A w świecie łączności możemy użyć sygnału analitycznego do łatwego i dokładnego obliczenia chwilowej wielkości oryginalnego sygnału o wartości rzeczywistej. Ten proces jest wykorzystywany w demodulacji AM. Również z sygnału analitycznego możemy łatwo i dokładnie obliczyć chwilową fazę oryginalnego sygnału o wartości rzeczywistej. Proces ten stosuje się zarówno w demodulacji fazowej, jak i FM. Twój profesor ma rację, mówiąc o transformacji Hilberta, ponieważ jest tak cholernie przydatny w systemach komunikacyjnych.

Świetne odpowiedzi już, ale chciałem dodać, że konwersja sygnału do jego wersji analitycznej jest łatwa w domenie cyfrowej (wymagany filtr półpasmowy ma połowę swoich współczynników równą zero), ale w tym przypadku częstotliwość próbkowania można zmniejszyć połowa, zasadniczo dzieląc przetwarzanie na rzeczywiste i wymyślone ścieżki. Oczywiście, tutaj jest pewien koszt i niektóre krzyżowe warunki muszą być obsługiwane, ale ogólnie jest to pomocne w implementacjach sprzętowych, gdy częstotliwość zegara jest czynnikiem.

Jak już wyjaśniono w innych odpowiedziach, transformata Hilberta służy do uzyskania sygnału anaytycznego, który może zostać wykorzystany do znalezienia obwiedni i fazy sygnału.

Innym sposobem patrzenia na transformację Hilberta jest dziedzina częstotliwości. Ponieważ sygnał rzeczywisty ma identyczne dodatnie i ujemne składowe częstotliwości, dlatego w analizie ta informacja jest zbędna.

Transformacja Hilberta służy do wyeliminowania części częstotliwości ujemnej i podwojenia wielkości części częstotliwości dodatniej (aby utrzymać tę samą moc).

Tutaj zaprojektowany filtr Hilbert Transform ma charakter pasmowoprzepustowy, który przepuszcza częstotliwości od 50 MHz do 450 MHz. Wejście jest sumą dwóch sygnałów sinusoidalnych o częstotliwościach równych 200 MHz i 500 MHz.

Z wykresu PSD możemy zobaczyć, że składowa częstotliwości ujemnej sygnału 200 MHz zostaje osłabiona, a sygnał 500 MHz przechodzi jako taki.

To pytanie ma już wiele doskonałych odpowiedzi, ale chciałem załączyć ten bardzo prosty przykład i wyjaśnienie z tej strony, które masowo wyjaśniły pojęcie i użyteczność transformacji Hilberta:

$z(t)$

$$\displaystyle z(t) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{\infty}Z(\omega)e^{j\omega t}d\omega$$ $Z(\omega)$$\exp(j\omega t)$$\omega$$A\cos(\omega t + \phi)$$A\exp[j(\omega t + \phi)]$$A\sin(\omega t + \phi)$

$$\displaystyle A e^{j(\omega t + \phi)} = A\cos(\omega t + \phi) + j A\sin(\omega t + \phi)$$ ${\cal H}_t\{x\}$$t$$x$$1$$-\pi/2$$+\pi/2$$x(t)$$y(t) = {\cal H}_t\{x\}$$z(t) = x(t) + j y(t)$$z(t)$$x(t)$$x(t)$$z(t)=x(t) + j {\cal H}_t\{x\}$$x(t)$ zostały „odfiltrowane”.

(Uwaga: Ja nie autor strony)