Jaki jest związek między sigmą u Laplaciana Gaussa a dwoma sigmami w Różnicy Gaussów?

Rozumiem, że filtr Laplaciana-Gaussa może być aproksymowany przez filtr Difference-of-Gaussian i że stosunek dwóch sigm dla tego ostatniego powinien wynosić 1: 1,6 dla najlepszego przybliżenia. Nie jestem jednak pewien, w jaki sposób dwa sigmy w Różnicy Gaussów odnoszą się do sigmy Laplaciana Gaussa. Czy mniejszy sigma w pierwszym jest równy sigmie drugiego? Czy większy sigma? Czy związek jest czymś innym?

Rozumiem, że filtr Laplaciana-Gaussa może być aproksymowany przez filtr Difference-of-Gaussian i że stosunek dwóch sigm dla tego ostatniego powinien wynosić 1: 1,6 dla najlepszego przybliżenia

Teoretycznie im mniejszy stosunek dwóch sigm, tym lepsze przybliżenie. W praktyce będziesz mieć błędy numeryczne w pewnym momencie, ale dopóki używasz liczb zmiennoprzecinkowych, wartości mniejsze niż 1,6 dadzą ci lepsze przybliżenie.

Aby to zilustrować, narysowałem przekrój LoG i DoG dla kilku wartości k w Mathematica:

Jak widać, k = 1,6 nie jest idealnym przybliżeniem. Na przykład k = 1,1 dałoby znacznie bliższe przybliżenie.

Ale zwykle chcesz obliczyć przybliżone wartości LoG dla szeregu sigm. (W przeciwnym razie, po co w ogóle zawracać sobie głowę aproksymacją DoG? Obliczanie pojedynczego przefiltrowanego obrazu LoG nie jest droższe niż obliczanie pojedynczego przefiltrowanego obrazu DoG.) Zatem wartość k jest zwykle wybierana tak, aby można było obliczyć serię filtru gaussowskiego obrazy z sigma s, s k, s k ^ 2, s * k ^ 3 ..., a następnie oblicz różnice między sąsiadującymi gaussami. Więc jeśli wybierzesz mniejszy k, będziesz musiał obliczyć więcej „warstw” gaussów dla tego samego zakresu sigma. k = 1,6 to kompromis między dążeniem do bliskiego przybliżenia a brakiem potrzeby obliczania zbyt wielu różnych gaussów.

Nie jestem jednak pewien, w jaki sposób dwa sigmy w Różnicy Gaussów odnoszą się do sigmy Laplaciana Gaussa. Czy mniejszy sigma w pierwszym jest równy sigmie drugiego?

Ze wzorów na stronie wiki @Libor, z którą linkujesz, możesz zobaczyć, że , więc w przybliżeniu LoG dla niektórych sigma potrzebujesz dwóch gaussów z sigmas i (przynajmniej w limicie ). Lub, w kategoriach k:$t=\sigma ^2$$\sqrt{\sigma ^2+\text{$\Delta $t}}$ Δt→$\sqrt{\sigma ^2-\text{$\Delta $t}}$$\text{$\Delta $t}\to 0$

$\sigma _{\text{Laplace}}=\sigma \sqrt{\frac{1+k^2}{2}}$

Może wzory tutaj mogą ci pomóc.

Ponieważ reprezentacja przestrzeni skali spełnia równanie dyfuzji, LoG można obliczyć jako różnicę między dwoma wycinkami przestrzeni skali.

Dlatego, wyprowadzając formułę DoG, najpierw przybliżamy LoG skończonym różnicowaniem. Myślę, że konkretny stosunek sigmy wynika z faktu, że krok w skali jest podejmowany w celu przybliżenia LoG.