Znaczenie rzeczywistej i urojonej części transformaty Fouriera sygnału

Powiedzmy, że jest sygnałem czasu , jego transformata Fouriera zmiennej . $f$ $t$ $F$ $v$

Wiadomo, że we współrzędnych biegunowych mówi nam, ile częstotliwości występuje w sygnale, a mówi nam, jak bardzo udział tej częstotliwości jest przesunięty fazowo. $|F(v)|$ $v$ $Arg(F(v))$

Jakie informacje przekazuje nam jej rzeczywista i wymyślona część?

Albo jeśli przeformułuję moje pytanie: czy możemy podać interpretację transformacji Fouriera we współrzędnych kartezjańskich, tak jak w przypadku współrzędnych biegunowych?

fourier-transform

— użytkownik2682877
źródło

Odpowiedzi:

Rzeczywiste i urojone części transformaty Fouriera sygnału są odpowiednio transformatami Fouriera części parzystej i nieparzystej sygnału: $x(t)$

X_{R} (ω) = \frac{1}{2)} [X (ω) + X^{*} (ω)] ⟺ \frac{1}{2)} [x (t) + x^{*} (- t)] = x_{mi} (t) X_{ja} (ω) = \frac{1}{2) jot} [X (ω) - X^{*} (ω)] ⟺ \frac{1}{2) jot} [x (t) - x^{*} (- t)] = - jot \cdot x_{o} (t)

$X_R(\omega)=\frac12[X(\omega)+X^*(\omega)]\Longleftrightarrow\frac12[x(t)+x^*(-t)]=x_e(t)\\ X_I(\omega)=\frac{1}{2j}[X(\omega)-X^*(\omega)]\Longleftrightarrow\frac{1}{2j}[x(t)-x^*(-t)]=-j\cdot x_o(t)$

gdzie i $X_R(\omega)$ są częściami rzeczywistymi i urojonymi , a i są odpowiednio parzystymi i nieparzystymi częściami . $X_I(\omega)$ $X(\omega)$ $x_e(t)$ $x_o(t)$ $x(t)$

— Matt L.
źródło

Przepraszam, że jestem gęsty, ale wciąż nie rozumiem. Co rozumiesz przez „parzyste i nieparzyste części” sygnału? (Nie jestem również pewien, co oznacza podwójna strzałka w waszej notacji.)

— natevw

Aktualizacja: być może ma to coś wspólnego z funkcjami parzystymi i nieparzystymi, jak przedstawiono tutaj: cs.unm.edu/~williams/cs530/symmetry.pdf ?

— natevw

@natevw: Podwójna strzałka oznacza, że funkcje po jego lewej i prawej stronie tworzą parę transformacji Fouriera. Każdy sygnał można rozłożyć na części parzyste i nieparzyste:

, gdzie

x (t) = x_{e} (t) + x_{o} (t)

$x(t)=x_e(t)+x_o(t)$

jest funkcją parzystą, a

jest funkcją nieparzystą .

x_{e} (t)

$x_e(t)$

x_{o} (t)

$x_o(t)$

— Matt L.

Dzięki, to wyjaśnia twoją odpowiedź w połączeniu ze slajdami wstępnymi prezentacji „symetrii”, którą zamieściłem powyżej!

— natevw

A co jest j w części urojonej / nieparzystej?

— sssheridan

Jeśli częstotliwości są równe, ale jedna jest ujemna względem drugiej, zostaną anulowane i nie będzie wyimaginowanego sygnału.

— Gamaliel
źródło

-1

Transformacja Fouriera układu jest jej funkcją przenoszenia i daje współczynnik mnożenia, gdy $e^{j\omega t}$ $\omega$

— Seetha Rama Raju Sanapala
źródło

Podczas gdy twoje zdanie na temat części rezystancyjnej / części reaktywnej w układach liniowych może być naprawdę interesujące, w obecnej formie twoja odpowiedź jest niechlujna i mało zrozumiała. Głosuję za tym

— Antoine Bassoul,