Jaka jest różnica między opóźnieniem fazowym a opóźnieniem grupowym?

41

Studiuję trochę DSP i mam problem ze zrozumieniem różnicy między opóźnieniem fazowym a opóźnieniem grupowym .

Wydaje mi się, że oboje mierzą czas opóźnienia sinusoid przechodzących przez filtr.

Czy mam rację, myśląc o tym?
Jeśli tak, to czym różnią się te dwa pomiary?
Czy ktoś mógłby podać przykład sytuacji, w której jeden pomiar byłby bardziej użyteczny niż drugi?

AKTUALIZACJA

Czytając dalej we wstępie Juliusa Smitha do filtrów cyfrowych , znalazłem sytuację, w której dwa pomiary przynajmniej dają różne wyniki: filtry fazy afinicznej . To chyba częściowa odpowiedź na moje pytanie.

— dB ”
źródło

Ta strona może Ci się przydać. Wyjaśnia opóźnienie grupy i jej skutki bez żadnej matematyki.

— user5108_Dan 30.01.16

strona wikipedia zawiera definicje i różnice matematyczne. jeśli masz filtr fazy liniowej, opóźnienie grupy i opóźnienie fazy mają tę samą wartość i są po prostu opóźnieniem przepustowości filtra. dla każdego filtra ogólnego, który ma pewne wzmocnienie przy DC (tj. nie ma HPF ani BPF z

dB przy DC) i nie ma odwrócenia polaryzacji przy DC, opóźnienie grupowe i opóźnienie fazowe mają tę samą wartość przy DC i blisko DC.

- \infty

$-\infty$

— Robert Bristol-Johnson

19

Przede wszystkim definicje są różne:

Opóźnienie fazy: (minus) Faza podzielona przez częstotliwość
Opóźnienie grupy: (minus) Pierwsza pochodna fazy vs częstotliwość

Innymi słowy oznacza to:

Opóźnienie fazy: kąt fazy w tym punkcie częstotliwości
Opóźnienie grupy: Szybkość zmiany fazy wokół tego punktu częstotliwości.

Kiedy używać jednego lub drugiego, naprawdę zależy od twojej aplikacji. Klasycznym zastosowaniem opóźnienia grupowego są modulowane fale sinusoidalne, na przykład radio AM. Czas potrzebny do przejścia sygnału modulacji przez system jest określony przez opóźnienie grupowe, a nie opóźnienie fazowe. Innym przykładem audio może być bęben nożny: jest to w większości modulowana fala sinusoidalna, więc jeśli chcesz ustalić, o ile bęben nożny będzie opóźniony (i potencjalnie rozmazany w czasie), opóźnienie grupowe jest sposobem, aby na to spojrzeć.

— Hilmar
źródło

„Faza absolutna w tym punkcie częstotliwości” Czy nie można nazwać tego po prostu „fazą”?

— endolith

Miałem na myśli „bezwzględny” w porównaniu z „względnym”, ale widzę, że można to pomylić z „wartością bezwzględną”. Zmienię to

— Hilmar,

f

$f$

f

$f$

16

Nie oba mierzą, jak długo sinusoid jest opóźniony. Opóźnienie fazowe dokładnie to mierzy. Opóźnienie grupowe jest nieco bardziej skomplikowane. Wyobraźcie sobie krótką falę sinusoidalną z przyłożoną do niej obwiednią amplitudy, która stopniowo zanika i zanika, powiedzmy, gaussowski pomnożony przez sinusoidę. Ta koperta ma swój kształt, a w szczególności ma pik reprezentujący środek tego „pakietu”. Opóźnienie grupowe mówi o tym, o ile ta obwiednia amplitudy będzie opóźniona, w szczególności o ile przesunie się szczyt tego pakietu.

Lubię o tym myśleć, wracając do definicji opóźnienia grupowego: jest to pochodna fazy. Pochodna daje linearyzację odpowiedzi fazowej w tym punkcie. Innymi słowy, przy pewnej częstotliwości opóźnienie grupy mówi w przybliżeniu, w jaki sposób odpowiedź fazowa sąsiednich częstotliwości odnosi się do odpowiedzi fazowej w tym punkcie. Pamiętajcie teraz, jak używamy sinusoidy modulowanej amplitudą. Modulacja amplitudy zajmie szczyt sinusoidy i wprowadzi pasma boczne przy sąsiednich częstotliwościach. W pewnym sensie opóźnienie grupowe dostarcza informacji o opóźnieniu pasm bocznych w stosunku do częstotliwości nośnej, a zastosowanie tego opóźnienia zmieni w jakiś sposób kształt obwiedni amplitudy.

Szalona rzecz? Filtry przyczynowe mogą mieć ujemne opóźnienie grupy! Weź swój gaussian pomnożony przez sinusoidę: możesz zbudować obwód analogowy, aby po wysłaniu tego sygnału szczyt koperty pojawił się na wyjściu przed wejściem. Wydaje się to paradoksem, ponieważ wydaje się, że filtr musi „widzieć” w przyszłości. To zdecydowanie dziwne, ale sposobem na przemyślenie tego jest to, że ponieważ obwiednia ma bardzo przewidywalny kształt, filtr ma już wystarczającą ilość informacji, aby przewidzieć, co się wydarzy. Gdyby w środku sygnału wstawiono impuls, filtr nie przewidziałby tego. Oto naprawdę interesujący artykuł na ten temat: http://www.dsprelated.com/showarticle/54.php

— sznurek
źródło

Kiedy powiesz „wyobraź sobie ...”, prawdziwy obraz byłby tutaj bardzo pomocny.

— Gabriel Staples,

9

Dla tych, którzy wciąż nie potrafią kredować, różnica jest tutaj prostym przykładem

$v(t)$

v (t) \cdot \sin (ω t)

$v(t) \cdot \sin(\omega t)$

Jeśli zmierzysz ten sygnał na końcu linii transmisyjnej, może dojść do czegoś takiego:

v (t - τ_{g}) \cdot \sin (ω t + ϕ) = v (t - τ_{g}) \cdot \sin (ω (t - τ_{ϕ}))

$v(t-\tau_g) \cdot \sin(\omega t + \phi)\\ = v(t-\tau_g) \cdot \sin(\omega (t - \tau_\phi))$

$\phi$

$\sin(\omega t)$ $\tau_\phi = -\tfrac{\phi}{\omega}$

$v(t)$ $\tau_g = -\tfrac{d\,\phi}{d\,\omega}$

Opóźnienie fazowe to po prostu czas podróży dla pojedynczej częstotliwości, podczas gdy opóźnienie grupowe jest miarą zniekształcenia amplitudy, jeśli zastosuje się szereg częstotliwości.

— Swapnil Parihar
źródło

3

Opóźnienie fazowe dowolnego filtra to opóźnienie czasowe, które każdy składnik częstotliwości cierpi podczas przechodzenia przez filtry (jeśli sygnał składa się z kilku częstotliwości).

Opóźnienie grupowe to średnie opóźnienie czasowe złożonego sygnału występujące przy każdej składowej częstotliwości.

— Saeed
źródło

2

Wiem, że to dość stare pytanie, ale szukałem pochodnych wyrażeń dotyczących opóźnień grupowych i opóźnień fazowych w Internecie. Niewiele takich pochodnych istnieje w sieci, więc pomyślałem, że podzielę się tym, co znalazłem. Zauważ też, że ta odpowiedź jest bardziej matematycznym opisem niż intuicyjnym. Intuicyjne opisy znajdują się w powyższych odpowiedziach. Oto więc:

a (t) = x (t) c o s (ω_{0} t)

$a(t) = x(t)cos(\omega_0 t)$

H (j ω) = e^{j ϕ (ω)}

$H(j\omega) = e^{j\phi(\omega)}$

A (j ω) = \frac{1}{2 π} X (j ω) * (π δ (ω - ω_{0}) + π δ (ω + ω_{0}))

$A(j\omega) = {1 \over 2\pi}X(j\omega) * (\pi\delta(\omega - \omega_0) + \pi\delta(\omega + \omega_0))$

A (j ω) = \frac{X (j (ω - ω_{0})) + X (j (ω + ω_{0}))}{2}

$A(j\omega) = {X(j(\omega-\omega_0))+X(j(\omega+\omega_0)) \over 2}$

B (j ω) = \frac{e^{j ϕ (ω)}}{2} (X (j (ω - ω_{0})) + X (j (ω + ω_{0})))

$B(j\omega) = {e^{j\phi(\omega)} \over 2} (X(j(\omega-\omega_0))+X(j(\omega+\omega_0)))$

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

x (t)

$x(t)$

ω_{0}

$\omega_0$

a (t)

$a(t)$

x (t)

$x(t)$

B (j ω)

$B(j\omega)$

ω_{0}

$\omega_0$

- ω_{0}

$-\omega_0$

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

ϕ (ω) = ϕ (ω_{0}) + \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0}) (ω - ω_{0}) = α + β ω

$\phi(\omega) = \phi(\omega_0) + \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)(\omega - \omega_0) = \alpha + \beta\omega$

α = ϕ (ω_{0}) - ω_{0} \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})

$\alpha = \phi(\omega_0) - \omega_0\frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$

β = \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})

$\beta = \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$

B (j ω)

$B(j\omega)$

\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2} X (j (ω - ω_{0})) e^{j (ω t + α + β ω)} d ω

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} X(j(\omega - \omega_0)) e^{j(\omega t + \alpha + \beta\omega)} d\omega$

ω - ω_{0}

$\omega - \omega_0$

ω^{'}

$\omega'$

\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2} X (j (ω^{'})) e^{j ((ω^{'} + ω_{0}) (t + β) + α)} d ω^{'}

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} X(j(\omega')) e^{j((\omega' + \omega_0) (t + \beta) + \alpha)} d\omega'$

x (t + β) \frac{e^{j (ω_{0} t + ω_{0} β + α)}}{2}

$x(t + \beta)\frac{e^{j(\omega_0 t + \omega_0\beta + \alpha)}}{2}$

α

$\alpha$

β

$\beta$

x (t + β) \frac{e^{j (ω_{0} t + ϕ (ω_{0}))}}{2}

$x(t + \beta)\frac{e^{j(\omega_0 t + \phi(\omega_0))}}{2}$

B (j ω)

$B(j\omega)$

ω_{0}

$\omega_0$

- ω_{0}

$-\omega_0$

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

x (t + β) \frac{e^{- j (ω_{0} t + ϕ (ω_{0}))}}{2}

$x(t + \beta)\frac{e^{-j(\omega_0 t + \phi(\omega_0))}}{2}$

b (t) = x (t + \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})) c o s (ω_{0} (t + \frac{ϕ (ω_{0})}{ω_{0}}))

$b(t) = x(t + \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0))cos(\omega_0(t + \frac{\phi(\omega_0)}{\omega_0}))$

x (t)

$x(t)$

(τ_{g})

$(\tau_g)$

(τ_{p})

$(\tau_p)$

τ_{g} = - \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})

$\tau_g = -\frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$

τ_{p} = - \frac{ϕ (ω_{0})}{ω_{0}}

$\tau_p = -\frac{\phi(\omega_0)}{\omega_0}$

— Arkonaire
źródło