Wyrażenie analityczne dla wektorów własnych rzeczywistej, symetrycznej macierzy 3x3?

Piszę algorytm przetwarzający obrazy 3D w oparciu o lokalny moment bezwładności.

Mam prawdziwą macierz symetryczną 3x3, z której muszę znaleźć wartości własne. Znalazłem tam szereg ogólnych algorytmów diagonalizacji macierzy, ale nie mogłem się dowiedzieć, czy istnieje analityczne wyrażenie dla 3 wektorów własnych takiej macierzy.

Czy ktoś biegły w matematyce to wie?

EDYTOWAĆ

Dla przypomnienia oto, co sam znalazłem w pytaniu. Jak powiedział Matthias Odisio, nie można przejść do prostego wyrażenia analitycznego, gdy tylko ma się matrycę 3x3.

Znalazłem jednak dedykowany artykuł dla specjalnego przypadku macierzy pustelnikowych 3x3, w których porównuje się różne numeryczne podejścia specjalistyczne:

http://arxiv.org/abs/physics/0610206

Oto kod C i Fortran artykułu:

http://www.mpi-hd.mpg.de/personalhomes/globes/3x3/index.html

3d matrix

— Jean-Yves
źródło

Wolfram | Alpha ułatwił takie rzeczy :

wprowadź opis zdjęcia tutaj

— Matthias Odisio
źródło

Miły. Nie wiedziałem, że możesz robić takie rzeczy w bezpłatnym narzędziu online. Muszę to sprawdzić, aby zobaczyć, ile daje Mathematica.

— Jason R

Auć! Myślę, że właśnie dlatego ludzie sięgają po rozdzielczość numeryczną. To jest ledwo czytelne. Ponadto widzę tam wyimaginowane liczby. Chyba powinienem dodać, że a, bc, d, e i f były prawdziwe. Czy potrafisz to zrobić w Mathematica?

— Jean-Yves,

Mathematica ma wszechstronny sposób definiowania „podstawowych operatorów” (Sqrt, Power, Log, itp.) Dla liczb zespolonych (problemy z odcięciem gałęzi itp.). Zapewniamy, że niezależnie od rzeczywistych wartości, które zastąpisz symbolami „a”,…, „f”, wektory własne będą prawdziwe (tj. Ich części urojone będą mniejsze niż, powiedzmy, 10 ^ -12).

— Matthias Odisio

Przekonałem się, że możesz budować w takich założeniach, używając składni takiej jak „a [Element] Reals”. Ale od teraz potrzebuję licencji Mathematica, której nie mam;)

— Jean-Yves,

Ilości należy wyrazić za pomocą liczb zespolonych, nawet jeśli wpisy a, ..., f są liczbami rzeczywistymi. Kolega wskazał mi en.wikipedia.org/wiki/Casus_irreducibilis, który wyjaśnia problem.

— Matthias Odisio