Co jest -transform z funkcji Bessela Sekwencja

9

Jaka jest transformacja sekwencji dla ? $\mathcal Z$ $J_0(\alpha n)$ $n \in \mathbb{Z}$

Znana jest transformata Fouriera zero funkcja Bessela na dla . Ma biegun na . Czy to oznacza, że transformat będzie miał biegun na okręgu jednostki? $^{\rm th}$ $J_0(\alpha x)$ $\frac{2}{\sqrt{\alpha^2 - \omega^2}}$ $|\omega| < \alpha$ $\omega = \alpha$ $\mathcal Z$

EDYTOWAĆ:

Problem, na który patrzę, dotyczy dyskretnych próbek funkcji Bessela, tj. . Jak powinienem kontynuować określanie jego matematycznej transformacji ? $J_0(n)$ $\mathcal Z$

fourier-transform z-transform

— sauravrt
źródło

Jestem ciekawy, jaka jest do tego aplikacja?

— nibot

@nibot Pracuję z izotropowym modelem hałasu, a dla przypadku 2D elementy macierzy kowariancji szumów są funkcjami Bessela pierwszego rzędu. Wartości własne cov. macierz ma związek z transformacją Z sekwencji funkcji Bessela.

— sauravrt

2

Rozszerzenie Taylora dla funkcji Bessela pierwszego rodzaju i 0 rzędu to

J_{0} (x) = \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{m}}{(m!)^{^{2}}} {(\frac{1}{2} x)}^{2 m}

$J_{0}\left ( x \right )= \sum_{m=0}^{\infty }\frac{(-1)^{m}}{(m!)^{^{2}}}\left ( \frac{1}{2}x \right )^{2m}$

(patrz http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function )

Możesz więc w przybliżeniu to przekształcić jako transformatę Z wielomianu.

— Hilmar
źródło

1

Możesz zastosować definicję transformacji do równoważnego wyrażenia funkcji Bessela lub do przybliżenia. $\mathcal Z$

Równoważne funkcje mogą być:

\begin{aligned} J_{0} (x) & = \frac{1}{π} \cos (x \cos ϕ) d ϕ \\ = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} (1 - \frac{x^{2} \cos^{2} ϕ}{2!} + \frac{x^{4} \cos^{4} ϕ}{4!} - \frac{x^{6} \cos^{6} ϕ}{6!} + \dots) d ϕ \end{aligned}

$\begin{align} J_0(x) &= \frac 1\pi\cos\left(x\cos\phi\right)d\phi\\ &=\frac 1\pi\int_0^\pi\left(1-\frac{x^2\cos^2\phi}{2!}+\frac{x^4\cos^4\phi}{4!}-\frac{x^6\cos^6\phi}{6!}+\cdots\right)d\phi \end{align}$

Aktualizacja :

Więcej informacji na temat równoważnych wyrażeń znajduje się tutaj .

— Luis Andrés García
źródło

1

W przybliżeniu dla brakuje znaku integralnego w pierwszym kroku. Nie widzę cię, by uzyskać przybliżoną transformatę Z. Miałem inny pomysł, używając przybliżenia . Wypróbowałem to podejście i skończyłem na transformacji Z obejmującej funkcję PolyLogarithmic (Używany Mathematica).

J_{0} (x)

$J_0(x)$

J_{0} (x) = \sqrt{(} \frac{2}{x π} c o s (x - π / 4)

$J_0(x) = \sqrt(\frac{2}{x \pi} cos(x - \pi/4)$

— sauravrt

Uważam, że przybliżenie, o którym mówi, jest przybliżeniem zmodyfikowanej funkcji Bessela pierwszego rodzaju (jeśli pamięć mi służy). jest argument do funkcji, a nie jak w -transform. To wskazuje, że zamiast oceny sumy -transform bezpośrednio, można użyć innego formularza, który jest albo równoważne lub w przybliżeniu odpowiednik funkcji interesów, które mogą być łatwiejsze do przekształcenia.

I_{0} (z)

$I_0(z)$

z

$z$

z

$z$

z

$z$

z

$z$

— Jason R

Twoje uznanie dla przybliżenia było prawdziwe. Zredagowałem swoją odpowiedź.

— Luis Andrés García