Co to znaczy dokładnie, gdy dwie części sygnału są skorelowane?

Często napotykam na pomysł, że dwie lub więcej części sygnału są skorelowane, aby opisać półformalnie, że należą one do siebie. Na przykład w przetwarzaniu obrazu dwa piksele na obiekcie krawędziowym są zwykle skorelowane, podczas gdy dwie sąsiednie części struktury 3D reprezentujące kropelki wody w symulacji cząstek są mniej skorelowane. Moje pytanie brzmi, jaka jest dokładnie idea tego pojęcia.

Tak, może cię to zepsuć, jeśli nie dostaniesz podstaw od samego początku. Tak interpretuję korelację i zadziałało dla mnie to, co robię na życie.

Zacznijmy od stosunkowo prostego przykładu. Spójrz na poniższy rysunek ( zaczerpnięty z dspguide ... to naprawdę świetna książka online do poznania podstaw DSP).

Mamy antenę, która przesyła krótką falę energii fal radiowych w pewnym kierunku. Jeśli fala propagacyjna uderza w obiekt ... jak helikopter na tej figurze, niewielka część energii jest odbijana z powrotem w kierunku odbiornika radiowego. Odbiornik znajduje się blisko anteny nadawczej.

Ten krótki wybuch energii radiowej, na potrzeby tego przykładu, ma mały trójkątny kształt. Kiedy sygnał odbija się od helikoptera, a następnie powraca do odbiornika, sygnał ten będzie się składał z dwóch części:

1. Przesunięta i skalowana wersja transmitowanego impulsu i
2. Szum losowy, powstały w wyniku interferencji fal radiowych, szumu termicznego w elektronice i innych czynników.

Mówiąc luźniej, możemy faktycznie dowiedzieć się, jak daleko jest obiekt, korzystając z tej koncepcji. Ponieważ sygnały radiowe przemieszczają się z grubsza z prędkością światła, przesunięcie między nadawanym i odbieranym impulsem jest z grubsza miarą odległości do wykrywanego obiektu.

W związku z tym jest to nasz ogólny problem:

Biorąc pod uwagę sygnał o jakimś znanym kształcie, jaki jest najlepszy sposób ustalenia, gdzie (lub jeśli) sygnał występuje w innym sygnale?

Najlepszym sposobem odpowiedzi na to jest korelacja .

Istnieją dwa różne paradygmaty obliczania korelacji. Pierwszy nazywa się autokorelacją , gdzie porównujesz sygnał z przesuniętymi przesunięciami czasowymi samego siebie. Ten paradygmat, który opisujemy (również widoczny na rysunku) jest zdefiniowany jako korelacja krzyżowa , w której porównujemy z innym sygnałem , zwłaszcza sygnałem odebranym. Zasadniczo porównujemy odbierany sygnał z przesuniętymi wersjami oryginalnego przesyłanego sygnału. Zasadniczo przyglądamy się temu, co otrzymaliśmy i co zostało przekazane. Bierzemy to, co zostało odebrane, i przesuwamy pierwotnie przesyłany sygnał o różne wartości czasu. Następnie wykonujemy porównanie z każdym z tych sygnałów i otrzymanym wynikiem. Cokolwiek daje nam najwyższą wartość wartość będzie oznaczać odległość helikoptera.

Amplituda każdej próbki w sygnale korelacji krzyżowej jest miarą tego, jak bardzo odbierany sygnał przypomina sygnał docelowy w tej lokalizacji. Oznacza to, że szczyt wystąpi w sygnale korelacji krzyżowej dla każdego sygnału docelowego obecnego w odbieranym sygnale. Innymi słowy, wartość korelacji krzyżowej jest zmaksymalizowana, gdy sygnał docelowy jest wyrównany z tymi samymi cechami w odbieranym sygnale.

Jeśli na odbieranym sygnale występuje szum, będzie również występować szum na sygnale korelacji krzyżowej. Jest nieuniknionym faktem, że losowy hałas wygląda tak, jak każdy wybrany sygnał docelowy. Szum w sygnale korelacji krzyżowej po prostu mierzy to podobieństwo. Z wyjątkiem tego szumu, szczyt generowany w sygnale korelacji krzyżowej jest symetryczny między jego lewym a prawym. Jest to prawdą, nawet jeśli sygnał docelowy nie jest symetryczny.

Warto pamiętać, że korelacja krzyżowa próbuje wykryć sygnał docelowy, a nie odtworzyć go. Nie ma powodu, aby oczekiwać, że szczyt będzie nawet przypominał sygnał docelowy. Korelacja jest optymalną techniką wykrywania znanego kształtu fali w przypadkowym szumie. Aby być całkowicie poprawnym, jest optymalny tylko dla przypadkowego białego szumu. Używanie korelacji do wykrywania znanego kształtu fali jest często nazywane filtrowaniem dopasowanym .

tl;dr- Korelacja jest miarą tego, jak bardzo jeden sygnał przypomina inny. Sygnałem mogą być obrazy, cechy, krawędzie itp. Jest to po prostu miara podobieństwa między jednym sygnałem a drugim.

Zwykle odnosi się to do współczynnika autokorelacji.

Rozważ każdy sygnał 1D z częstotliwością $\pi$.

Teraz spójrzmy na całkę autokorelacji:

Dla różnych $\tau$, autokorelacja będzie miała maksimum dla $\tau$ równy $\pi$i jego wielokrotności. Tak więc autokorelacja może być wykorzystana do badania okresowości sygnału.

Jest to często używane potocznie w celu wskazania, że ​​niektóre części sygnału są bardzo podobne lub nawet identyczne.

Analogiem dla dwóch różnych sygnałów byłaby korelacja krzyżowa. Można go wykorzystać do badania podobieństwa dwóch oddzielnych sygnałów.

W przypadku korelacji krzyżowej $\tau$ nie ma znaczenia dla okresowości pojedynczych sygnałów, ale jeśli dla danego $\tau$ korelacja jest wysoka, $\tau$ wskazuje przesunięcie fazowe między sygnałami.

Korelacja między 2 sygnałami oznacza, że ​​możesz powiedzieć coś o jednym z nich, obserwując drugi.

Jeśli masz na myśli standardową korelację, $E[xy]$, oznacza to, że znasz statystyki z drugiego momentu.