Kiedy możemy napisać zasadę niepewności Heisenberga jako równość?

14

Wiemy, że zasada niepewności Heisenberga stwierdza, że

Δ f Δ t \geq \frac{1}{4 π} .

$\Delta f \Delta t \geq \frac{1}{4 \pi}.$

Ale (w wielu przypadkach dla falki Morleta) widziałem, że zmienili nierówność na równość. Teraz moje pytanie brzmi: kiedy wolno nam zmienić nierówność na równość:

Δ f Δ t = \frac{1}{4 π}

$\Delta f \Delta t = \frac{1}{4 \pi}$ why =

fourier-transform wavelet resolution

— Elektryczny człowiek
źródło

wydaje się bardzo interesujące

— data datuashvili

1

jak wiem, jest równe, jeśli rozkład gaussowski ma optymalny kształt, zapoznaj się z tą książką The Illustrated Wavelet Transform Handbook: Teoria wprowadzająca i zastosowania w nauce, inżynierii, medycynie i finansach

— data datuashvili

1

link jest zepsuty, kolego, czy możesz wysłać książkę e-mailem lub wysłać inny link? mój e-mail: <electrictranslation@gmail.com> dzięki @datodatuashvili

— Electricman

8

$\Delta_t$ $\Delta_{\omega}$

$f(t)$ $F(\omega)$

\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} (t) d t = 1 (unit energy) \int_{- \infty}^{\infty} t | f (t) |^{2} d t = 0 (centered around t = 0) \int_{- \infty}^{\infty} ω | F (ω) |^{2} d ω = 0 (centered around ω = 0)

$\int_{-\infty}^{\infty}f^2(t)dt=1\quad\textrm{(unit energy)}\\ \int_{-\infty}^{\infty}t|f(t)|^2dt=0\quad\textrm{(centered around }t=0)\\ \int_{-\infty}^{\infty}\omega|F(\omega)|^2d\omega=0\quad\textrm{(centered around }\omega=0)$

Żaden z tych warunków nie stanowi ograniczenia. Wszystkie mogą być spełnione (dla sygnałów o skończonej energii) poprzez odpowiednie skalowanie, translację i modulację.

Jeśli teraz zdefiniujemy szerokości czasu i częstotliwości w następujący sposób

Δ_{t}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} t^{2} | f (t) |^{2} d t Δ_{ω}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} ω^{2} | F (ω) |^{2} d ω

$\Delta_t^2=\int_{-\infty}^{\infty}t^2|f(t)|^2dt\\ \Delta_{\omega}^2=\int_{-\infty}^{\infty}\omega^2|F(\omega)|^2d\omega$

wówczas zasada nieoznaczoności stwierdza, że

\begin{matrix} (2.6.2) & Δ_{t}^{2} Δ_{ω}^{2} \geq \frac{π}{2} \end{matrix}

$\Delta_t^2\Delta_{\omega}^2\ge\frac{\pi}{2}\tag{2.6.2}$

$f(t)$ $1/\sqrt{t}$ $t\rightarrow\pm\infty$

gdzie nierówność jest zadowolona z równości dla sygnału Gaussa

\begin{matrix} (2.6.3) & f (t) = \sqrt{\frac{α}{π}} e^{- α t^{2}} \end{matrix}

$f(t)=\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}e^{-\alpha t^2}\tag{2.6.3}$

Powyższe liczby równań odpowiadają dowodowi poniżej, który pochodzi z kodowania falek i podpasm Vetterli i Kovacevic (str.80):

wprowadź opis zdjęcia tutaj

— Matt L.
źródło

dzięki za matematykę, postaram się to zrozumieć. @ matt-l

— Electricman

@Matt L .: Dlaczego definiujesz szerokości czasu i częstotliwości za pomocą kwadratowego współczynnika wagowego? Widziałem w szkole, że są i wariancje. Rozbieżności rozkładów mają liniowy współczynnik wagowy? Co to jest? Czy to oznacza, że ta zasada nieoznaczoności nie mówi o wariancjach funkcji i wariancji jej spektrum, ale o czymś innym?

— Martijn Courteaux,

| f (t) |^{2}

$|f(t)|^2$

f (t)

$f(t)$

| f (x) |^{2}

$|f(x)|^2$

1

f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} t^{2} f (t) d t

$\int_{-\infty}^{\infty}t^2f(t)dt$

3

Nie mogę podać ci całej teorii stojącej za tym (ponieważ dosłownie wypełnia książki), ale okazuje się, że Heisenberg staje się dokładną równością dokładnie dla tej rodziny sygnałów:

s_{t_{0}, ω_{0}, σ, ϕ, γ} (t) = \exp (- {(\frac{t - t_{0}}{σ})}^{2} + i (ϕ + ω_{0} (t - t_{0}) + γ (t - t_{0})^{2}))

$s_{t_0,\omega_0,\sigma,\phi,\gamma}(t) = \exp\left(-\left(\frac{t-t_0}{\sigma}\right)^2 + i \left(\phi + \omega_0 (t-t_0) + \gamma (t-t_0)^2\right)\right)$

gdzie wszystkie parametry są liczbami rzeczywistymi. Ta rodzina jest generowana przez kwadratowe symplektomorfizmy częstotliwościowo-czasowe z pojedynczego atomu Gabora. Te symplektomorfizmy zachowują relację niepewności Heisenberga.

$\Delta F \cdot \Delta T$ $\gamma$

Pojęcie obszaru częstotliwości czasowej można jednak uogólnić, aby zmierzyć obszar kształtów, które nie są wyrównane z osią czasu i częstotliwości. Oznacza to, że zamiast iloczynu niepewności między F i T mierzymy iloczyn minimalnej niepewności dowolnych dwóch zmiennych sprzężonych z zakresu F i T. Oszczędźę ci szczegółów, ale dla tej definicji obszaru czasowo-częstotliwościowego rodzina sygnałów daje ty minimum.

— Jazzmaniac
źródło

1

Czyż nie jest to Gabuor Fijlter Fuonctiuons? '

— Jean-Yves

Jednym z powodów, dla których „wypełnia książki” jest to, że wiele warunków wymaganych dla równości jest precyzyjnie określonych i ograniczonych (często poza wszelką użytecznością w jakimkolwiek innym kontekście, takim jak świat rzeczywisty).

— hotpaw2

Pierwotnym kontekstem zasady nieoznaczoności Heisenberga była fizyka, w szczególności mechanika kwantowa, w której zmiennymi sprzężonymi są pozycja i pęd. Nie ogranicza się do analizy czas / częstotliwość.

— user2718

@BZ, głosisz tutaj chór. Jestem matematykiem-fizykiem kwantowym. Jednak nie widzę tu sensu twojego komentarza ani twojej odpowiedzi.

— Jazzmaniac

2

Zasada nieoznaczoności ustanawia teoretyczną granicę rozwiązania, więc nigdy nie jest zapisana jako równość.

Relacje równości, które napotykasz, dotyczą określonego kontekstu analizy i implementacji analizy. W tym przypadku kontekstem jest analiza sygnału, więc czas / częstotliwość są interesującymi zmiennymi sprzężonymi, a implementacja jest specyficzną zastosowaną falą.

Relacja równości zapewnia sposób porównywania rozdzielczości w różnych implementacjach analizy. Interpretując te relacje należy zachować ostrożność, ponieważ definicja rozdzielczości nie powinna, ale może się różnić.

Relacja równości jest właściwa po zdefiniowaniu dwóch rzeczy: 1) matematycznego znaczenia rozdzielczości. 2) metoda analizy (w tym przypadku wybór falki).

— użytkownik2718
źródło

Jeśli zagłębisz się głębiej, zasada Heisenberga stanie się czymś więcej niż stwierdzeniem o rozdzielczości. Jest głęboko powiązany z geometrią częstotliwości czasowej w strukturze matematycznej zwanej symplektyczną nieprzemienną geometrią. Dostarcza teoretyczną miarę informacji dla informacji o częstotliwości czasowej i staje się dokładnie integralnie kwantyzowana. Możesz nawet użyć go do uogólnienia twierdzenia Shannona dla rekonstrukcji dowolnych regionów TF.

— Jazzmaniac,

W mechanice kwantowej zasadą nieoznaczoności jest dowolna z różnorodnych matematycznych nierówności określających fundamentalne ograniczenie precyzji, z jaką pewne pary właściwości fizycznych cząstki znane jako zmienne komplementarne, takie jak pozycja x i pęd p, mogą być znane jednocześnie. Na przykład w 1927 r. Werner Heisenberg stwierdził, że im dokładniej określa się pozycję jakiejś cząstki, tym mniej precyzyjnie można poznać jej pęd i odwrotnie. [Wikipedia - ale nauczyłem się tego w fizyce i odwiedziłem ją ponownie na lekcjach analizy]

— user2718