Prawdziwa dyskretna transformata Fouriera

Próbuję zrozumieć prawdziwy DFT i DFT i dlaczego to rozróżnienie istnieje.

Z tego, co wiem do tej pory, DFT używa dla wektorów podstawowych i daje reprezentację Suma jest zapisywane od do z powodów historycznych, myślę, że zamiast pisać w sposób analogiczny do serii Fouriera z sumą od $e^{i2\pi kn/N}$

x [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$

k = 0

$k=0$

N - 1

$N-1$

Jest to zależne od swoistej anomolii DFT, gdzie wysokie częstotliwości są takie same jak częstotliwości ujemne:

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

x [n] = \sum_{k = - N / 2}^{N / 2 - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=-N/2}^{N/2-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$

e^{i 2 π k n / N} = e^{i 2 π (k - N) n / N}

$e^{i2\pi kn/N}=e^{i2\pi (k-N)n/N}$

Kontynuując analogię z szeregiem Fouriera, rzeczywista DFT daje reprezentację Można to postrzegać jako parowaniezew reprezentacji DFT, gdzie suma waha się oddo. Jest to bardzo podobne do parowania

x [n] = \sum_{k = 0}^{N / 2} (X_{R} [k] \cos (\frac{2 π k n}{N}) - X_{I} [k] \sin (\frac{2 π k n}{N}))

$x[n]=\sum_{k=0}^{N/2}\left(X_R[k]\cos\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)-X_I[k]\sin\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)\right)$

e^{i 2 π k n / N}

$e^{i2\pi kn/N}$

e^{- i 2 π k n / N}

$e^{-i2\pi kn/N}$

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

który łączy dwie reprezentacje szeregu Fouriera:

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

\sum_{- \infty}^{\infty} c_{n} e^{i n θ} = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{1}^{\infty} (a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ)

$\sum_{-\infty}^\infty c_n e^{in\theta}= \frac{a_0}{2} + \sum_1^{\infty}(a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta)$

Moje pytaniedlaczego zatem DFT jest o wiele bardziej rozpowszechniony niż prawdziwy DFT? Można się spodziewać, że ponieważ prawdziwy DFT wykorzystuje jako podstawę wartości sinusów i cosinusów o wartościach rzeczywistych, a tym samym przedstawia obraz geometryczny bardziej, niż ludzie chcieliby go bardziej. Rozumiem, dlaczego DFT i ciągła transformata Fouriera byłyby preferowane w sensie teoretycznym, ponieważ algebra wykładnicza jest prostsza. Ale ignorując prostszą algebrę, z praktycznego punktu widzenia stosowanego w obliczeniach, dlaczego DFT byłby bardziej użyteczny? Dlaczego reprezentowanie sygnału złożonymi wykładnikami byłoby bardziej przydatne w różnych aplikacjach fizyki, mowy, obrazu itp. Niż rozkład sygnału na sinus i cosinus. Także jeśli w mojej powyższej prezentacji brakuje czegoś subtelnego, chciałbym wiedzieć: „

dft

— użytkownik782220
źródło

N

$N$

x_{0}, x_{1}, \dots, x_{N - 1}

$x_0,x_1,\dots,x_{N-1}$

X_{0}, X_{1}, \dots, X_{N - 1}

$X_0,X_1,\dots,X_{N-1}$

X_{N - 1}, X_{N - 2}, \dots, X_{N / 2 + 1}

$X_{N-1},X_{N-2},\cdots,X_{N/2+1}$

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{N / 2 - 1}

$X_1,X_2,\dots,X_{N/2-1}$

BTW: Gorąco polecam przeczytanie tych dwóch artykułów na temat zarówno prawdziwej transformacji Fouriera, jak i transformacji Hartleya; robią dobrą robotę, tłumacząc zainteresowanie tymi metodami oprócz samego DFT.

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ}

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}$

Jeden z rozdziałów Van Loan szczegółowo omawia twoje pytanie. To wymaga pewnej wprawy w manipulowaniu produktami Kronecker.

Przynajmniej powinieneś mieć mniej pytań niż teraz.

$A\exp(j\omega t)$ $H(\omega)A\exp(j\omega t)$ $A$ ten sam zestaw wykładniczych . Ponadto, każda nowa waga jest uzyskiwana przez pomnożenie starej wagi przez odpowiednią liczbę.

$\cos(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\begin{aligned} \cos (ω t) & = \frac{\exp (j ω t) + \exp (- j ω t)}{2} \\ \sin (ω t) & = \frac{\exp (j ω t) - \exp (- j ω t)}{2 j} \end{aligned}

$\begin{align*} \cos(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) + \exp(-j\omega t)}{2}\\ \sin(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) - \exp(-j\omega t)}{2j} \end{align*}$

$\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\cos (α + β) = \cos (α) \cos (β) - \sin (α) \sin (β)

$\cos (\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$

Ale, podobnie jak w prawdziwym życiu, twój przebieg może się różnić, a jeśli uważasz, że reprezentacje grzechu / cos są właściwą drogą i należy unikać złożonych wykładników, możesz podążać za głosem serca. Jeśli masz trudności z przekazaniem swoich pomysłów współpracownikom, szefom, klientom lub konsultantom, będzie to ich utrata, a nie Twoja.

— Dilip Sarwate
źródło