Czy może istnieć filtr przyczynowy bez przesunięć fazowych?

9

Kiedy badałem dyspersję współczynnika załamania w półprzewodnikach i dielektrykach, mój profesor próbował wyjaśnić, że jeśli filtr (taki jak dielektryk pochłaniający niektóre częstotliwości światła lub elektryczny filtr RC) usuwa niektóre częstotliwości, wówczas pozostałe muszą zostać przesunięte fazowo aby skompensować te częstotliwości (które są nieskończenie rozłożone w czasie, jak zwykle sygnały monochromatyczne) odejmowane od całego sygnału, aby zachować przyczynowość.

Intuicyjnie rozumiem, o czym mówił, ale nie jestem pewien, czy jego argument jest naprawdę uzasadniony - tj. Czy może istnieć nietrywialny filtr, który pochłania niektóre częstotliwości i pozostawia te, które nie są przesunięte, ale nadal zachowują przyczynowość. Nie mogę tego zbudować, ale nie mogę udowodnić, że też nie istnieje.

Pytanie zatem brzmi: w jaki sposób można (nie) udowodnić, że filtr przyczynowy musi przesunąć względem siebie fazy częstotliwości?

filters phase

— Ruslan
źródło

18

Załóżmy, że filtr liniowy ma odpowiedź impulsową $h(t)$ oraz funkcja odpowiedzi / przenoszenia częstotliwości $H(f) = \mathcal F [h(t)]$ , gdzie $H(f)$ ma właściwość, że $H(-f) = H^*(f)$ (ograniczenie koniugacji).

Teraz odpowiedź tego filtra na złożone dane wykładnicze $x(t) = e^{j2\pi f t}$ jest

y (t) = H (f) e^{j 2 π f t} = | H (f) | e^{j (2 π f t + ∠ H (f))}

$y(t) = H(f)e^{j2\pi f t} = |H(f)|e^{j(2\pi f t + \angle H(f))}$ a jeśli chcemy, aby ten filtr nie powodował przesunięcia fazowego, musi tak być

∠ H (f) = 0

$\angle H(f) = 0$ dla wszystkich

f

$f$ .

Co powiesz na to, że zamiast przesunięcia fazowego jesteśmy skłonni zezwolić na stałe stałe przesunięcie fazowe dla wszystkich częstotliwości? To jest, $\angle H(f) = \theta$ dla wszystkich $f$ jest dla nas dopuszczalne, gdzie $\theta$ nie muszą być $0$ ? Dodatkowa szerokość geograficzna niewiele pomaga, ponieważ $\angle H(-f) = -\angle H(f)$ , a więc $\angle H(f)$ nie może mieć stałej wartości dla wszystkich $f$ chyba że ta wartość to $0$ .

Dochodzimy do wniosku, że jeśli filtr w ogóle nie zmienia fazy $H(f)$ jest funkcją o wartościach rzeczywistych, a ze względu na ograniczenie koniugacji jest także funkcją parzystą $f$ . Ale potem jego transformata Fouriera $h(t)$ jest parzystą funkcją czasu, a zatem filtr nie może być przyczynowy (z wyjątkiem trywialnych przypadków): jeśli jego odpowiedź impulsowa jest niezerowa dla żadnego konkretnego $t > 0$ , to jest również niezerowe dla $-t$ (gdzie $-t < 0$ ).

Zauważ, że filtr nie musi tłumić częstotliwości, tzn. Nie potrzebowaliśmy założenia, że niektóre częstotliwości są „usuwane” przez filtr (jak robi to filtr profesora PO), aby udowodnić twierdzenie, że przesunięcie fazy zerowej nie jest możliwe z filtrem przyczynowym, tłumikiem częstotliwości lub nie.

— Dilip Sarwate
źródło

2

Powiedziałbym filtr z

h (t) = δ (t)

$h(t)=\delta(t)$ jest przyczynowy, chociaż jest filtrem no-op (ani tłumikiem częstotliwości, ani przesunięciem fazowym). Z drugiej strony twoja odpowiedź jest świetna, dzięki.

— Ruslan

Świetna odpowiedź, ale jeśli się nie mylę, założenie, że odpowiedź częstotliwościowa jest sprzężona symetrycznie, opiera się na odpowiedzi impulsowej o wartości rzeczywistej. Dlaczego jest to uczciwe założenie? Możemy mieć funkcję transferu ze złożonymi współczynnikami, którą można rozumieć jako połączenie 2 rzeczywistych, wykonalnych fizycznie systemów LTI. Oznaczałoby to, że odpowiedź częstotliwościowa nie musi być sprzężona symetrycznie, co czyni analizę niepełną.

— ijuneja

6

Istnieją filtry, które powodują przesunięcie fazowe „liniowe”, to znaczy stałe opóźnienie. Nie można w ogóle niczego filtrować (przyczynowo) bez opóźnień.

— użytkownik7358
źródło

Słuszna uwaga. Tak więc czasy względne mogą zostać zachowane. A co z samymi przesunięciami fazowymi - czy mogą być równe dla wszystkich częstotliwości?

— Ruslan

Tak. Jest to zwykle nazywane „fazą liniową”. Możesz pokazać, że odpowiedź impulsowa takiego filtra musi być symetryczna lub antysymetryczna.

— user7358

4

Przesunięcie fazowe wynika z opóźnienia czasowego, tj. Czasu potrzebnego sygnałowi na dotarcie od wejścia do wyjścia systemu. Teraz, jeśli system nie powoduje przesunięcia fazowego, oznacza to, że opóźnienie czasowe wynosi zero. Pomyślmy teraz o systemie, który dostarcza dane wyjściowe w tym samym momencie, gdy dane wejściowe są stosowane. Czy to będzie możliwe? Oczywiście, że nie. Jeśli istnieje system, to musi on wykonywać jakąś pracę na sygnale, który powoduje opóźnienie i ostatecznie przesunięcie fazowe

— Amit_DSP
źródło

Wydaje się, że nie zdawałem sobie sprawy z tego, kiedy pisałem pytanie, że myślałem o względnych przesunięciach faz, a nie o ich globalnym przesunięciu w stosunku do pierwotnego sygnału. Oczywiście to, co mówisz, musiało być oczywiste, chociaż tak nie było.

— Ruslan

0

Możesz mieć filtr bez przesunięcia fazowego. Nazywa się to obserwatorem (predyktorem). Nie jest to jednak już tylko filtr, ale raczej matematyczny model relacji między wieloma odczytami czujników. Dzięki temu możesz przewidzieć sygnał, a tym samym uzyskać najlepszą możliwą prognozę sygnału rzeczywistego w tym samym momencie, w którym wykonujesz pomiary (bez przesunięcia fazowego).

— Jaskółka oknówka
źródło

Taki „filtr” nie jest przyczynowy.

— Ruslan

Oczywiście jest to przyczynowe. Definicja związku przyczynowego jest taka, że jego wynik zależy tylko od przeszłych i obecnych danych wejściowych. „Słowo przyczynowe wskazuje, że wydajność filtra zależy tylko od przeszłych i obecnych danych wejściowych.”

— Martin