zaskoczony widmem fazowym fft!

Bardzo prosty eksperyment MATLAB:

f = 200;  
fs = 1000;  
t = 0: 1/fs : 1;
x = cos(2*pi*f*t);  
plot(angle(fftshift(fft(x))));  

A oto wynik:

Teraz dokonałem niewielkiej zmiany powyższego fragmentu kodu; skrócenie czasu trwania o zaledwie 1 próbkę, jak następuje:

f = 200;  
fs = 1000;  
t = 0: 1/fs : 1 - 1/fs;
x = cos(2*pi*f*t);  
plot(angle(fftshift(fft(x)))); 

A spektrum fazowe jest całkowicie szalone:

Pytania:

1. Na pierwszym wykresie miałem nadzieję zobaczyć fazę zerową w bin 700, która odpowiada dodatniej częstotliwości 200 w tym przykładzie. Wydaje się, że tak nie jest. Po drugie, nie rozumiem liniowych części wykresu na wykresie 1. Doceniam składowe fazowe, które mogłyby potencjalnie istnieć z powodu tak zwanego szumu numerycznego, ale w takim razie jak ten szum może być tak „liniowy” w fazie?

2. Na drugim wykresie, dlaczego usunięcie tylko jednej próbki miałoby tak drastyczny wpływ na wykres fazowy?

3. Czy robię tu coś zasadniczo nie tak?

Nie robisz nic złego, ale również nie zastanawiasz się dokładnie, czego powinieneś się spodziewać, i dlatego jesteś zaskoczony rezultatem. W przypadku pytania 1 twoje przypuszczenie jest bliskie, ale faktycznie masz rzeczy do tyłu; to szum numeryczny, który dręczy twój drugi, a nie pierwszy.

Zdjęcia mogą pomóc. Oto wykresy wielkości i fazy dla pierwszej próby:

x = Cos[2.0 \[Pi] 200 Range[0, 1, 1/1000]];
fx = Fourier[x];
ListLinePlot[Abs[fx], PlotRange -> All]
ListLinePlot[Arg[fx], PlotRange -> All]

A drugi:

x = Cos[2.0 \[Pi] 200 Range[0, 1 - 1/1000, 1/1000]];
fx = Fourier[x];
ListLinePlot[Abs[fx], PlotRange -> All]
ListLinePlot[Arg[fx], PlotRange -> All]

Co się tu dzieje? Drugi jest najłatwiejszy do wyjaśnienia. Po pierwsze, FFT drugiego ma wszędzie zerową amplitudę, z wyjątkiem dwóch pików widocznych w widmie wielkości; wynika to z tego, że definicja FFT z wykorzystaniem 1000 punktów danych zwraca częstotliwości w postaci dla , a zatem sygnał spada dokładnie na przedział częstotliwości. W rezultacie w pozostałych 998 punktach twój sygnał jest całkowicie spowodowany szumem maszyny z powodu błędów zmiennoprzecinkowych, a zatem twoje spektrum fazowe jest nonsensowne, ponieważ jest to dosłownie faza liczb pseudolosowych.$k/1000$$0\leq k\leq 999$

Jednak dla pierwszego definicja FFT obejmuje częstotliwości formy dla , podczas gdy częstotliwość sygnału wynosi , która nie ma formy . W rezultacie twój sygnał zostaje poszerzony przez wyciek widmowy i prawie wszędzie będzie niezerowy. Nie będę komentował fizycznej postaci wykresu fazowego, ale powiem, że przyjmuje on zamkniętą formę analityczną.$k/1001$$0\leq k \leq 1000$$200/1000$$k/1001$

Ogólnie myślę, że same wykresy kąta fazowego są naprawdę złym pomysłem na przekazywanie informacji właśnie z tego powodu; po pierwsze, nie możesz stwierdzić, czy patrzysz na fazę śmieci o niskiej amplitudzie, czy rzeczywisty sygnał, a po drugie, nie jest on niezmienny dla translacji i łatwo jest uzyskać całkowicie oszałamiające wykresy dla prostych danych wejściowych. O wiele lepiej, jeśli nadal szukasz czegoś, co przekazuje informacje o fazie, to wykres, który jednocześnie przedstawia informacje o fazie i amplitudzie w ten sam wizualny sposób, na przykład wykres, w którym faza jest kodowana jako odcień, a wielkość jest kodowana jako jasność.

DODATEK: Oto kilka zdjęć z Mathematiki, które ilustrują zasadę, którą podałem w poprzednim akapicie:

hue = Compile[{{z, _Complex}}, {(1.0 Arg[-z] + \[Pi])/(2 \[Pi]), 
Exp[1 - Max[Abs[z], 1]], Min[Abs[z], 1]}, 
CompilationTarget -> "C", RuntimeAttributes -> {Listable}];
L = 500;
data = Table[Boole[x <= 11 && y <= 11], {x, L}, {y, L}];
Image[hue@
RotateRight[
10 RotateRight[Fourier[RotateRight[data, {-5, -5}]], {L/2, L/2}]], 
ColorSpace -> Hue, Magnification -> 1]
Image[hue@
RotateRight[
10 RotateRight[Fourier[RotateRight[data, {-4, -4}]], {L/2, L/2}]], 
ColorSpace -> Hue, Magnification -> 1]
Image[hue@
RotateRight[
10 RotateRight[Fourier[RotateRight[data, {0, 0}]], {L/2, L/2}]], 
ColorSpace -> Hue, Magnification -> 1]

Wszystkie trzy obrazy to transformaty Fouriera 2D tego samego sygnału wejściowego ( kwadrat z 1 wypełniony zerami o długości ), ale wejścia były cyklicznie obracane o 5, 4 i 0, oraz 200 punktów danych. Widma jasności (zakodowane przez jasność pikseli) są identyczne, ale widma fazowe są zupełnie inne! Kodowanie fazowe odbywa się tak, że 1 mapuje na czerwony, mapuje na zielony, mapuje na cyjan i$11\times 11$$500\times 500$$i$$-1$$-i$odwzorowuje na fioletowy. Mam na myśli to, co mówię, gdy widma fazowe są niezmienne i nie podlegają zmianom, a zatem nie podlegają ludzkiemu zrozumieniu wizualnemu. Na przykład, przy cyklicznym przesunięciu 200 punktów danych, zupełnie nie można powiedzieć, co dzieje się w fazie, ponieważ wygląda to po prostu na statyczny, ale sygnał wejściowy nie jest bardziej skomplikowany niż inne przypadki wejściowe.

Jeśli chcesz zmienić częstotliwość sygnału lub długość FFT, aby sygnał zmieniał się pomiędzy dokładnie okresową a niezupełnie okresową w otworze FFT, i nie chcesz widzieć fazy przedziału wielkości szczytowej dla tej zmiany sygnału, początkową fazę sygnału można odnieść do środka, jeśli otwór FFT zamiast początku (dla wygenerowanego sin (t), umieść t = 0 na środku tablicy FFT).

Witryna Fale Gaussa szczegółowo opisuje część dotyczącą fazy i jej losowego zachowania: tylko kwestia błędu zmiennoprzecinkowego, jak powiedział DumpsterDoofus