Dyskretna transformata Fouriera

13

Jestem uczniem gimnazjum, który fascynuje się elektroniką, programowaniem i tym podobnymi. Ostatnio uczyłem się o przetwarzaniu sygnałów.

Niestety, nie zrobiłem jeszcze wielu rachunków (wybacz mi), więc jestem trochę rozmyślny.

Gdybyś miał obliczyć DTFT sygnału, jaka byłaby różnica między reprezentacją lub tego sygnału? $\sin$ $\cos$
Z DTFT rozumiem, że sygnał, który wprowadzasz, byłby dyskretny w czasie, ale jak na świecie możesz uzyskać ciągły sygnał w dziedzinie częstotliwości?
To prowadzi do mojego drugiego pytania, które brzmi: w jaki sposób użyteczne jest DTFT? Gdzie był używany w większości aplikacji i dlaczego?

Byłbym wdzięczny za każdą pomoc.

fourier-transform

— ElectroNerd
źródło

Jeśli chodzi o moje pierwsze pytanie, domyślam się, że jest tylko 90 ° poza fazą. Jednak stworzyłem wykresy wskazujące inaczej: i974.photobucket.com/albums/ae227/ElectroNerdy/... i974.photobucket.com/albums/ae227/ElectroNerdy/...

— ElectroNerd

Doskonałe pytania. Stworzyłem odpowiedź (odpowiedzi) na te problemy, zwłaszcza, że dotyczą one sposobu, w jaki DSP przywołuje do głowy młodych ludzi. (Jest to szczególnie ważne na poziomie uniwersyteckim). Napisz do mnie e-mail, a pokażę ci trochę materiałów (zbyt zaangażowanych, aby publikować tutaj).

— Spacey,

@Mohammad: Cześć, czy możesz udostępnić mi te materiały na abidrahman2@gmail.com?

— Abid Rahman K

7

To wspaniałe, że interesuje Cię przetwarzanie sygnału na tym wczesnym etapie ścieżki edukacyjnej.

Najlepszą drogą do tego celu jest przeczytanie kilku książek wprowadzających na ten temat. Na początek jest wiele dobrych i bezpłatnych zasobów online. [Uwaga dla cenionego redaktora: dobre książki wprowadzające mogą być naprawdę dobrym tematem dla „lepkiego”]. Czasami używam

Jedną z najważniejszych pojęć matematycznych, których będziesz potrzebować, aby objąć ramiona, są „liczby złożone”. Jest to oczywiście błędne określenie, ponieważ tak naprawdę nie jest tak skomplikowane i wyraźnie upraszcza niemal całą matematykę inżynierską. Innym doskonałym darmowym zasobem dla wszystkich zagadnień matematycznych jest http://www.khanacademy.org, aw tym przypadku w szczególności http://www.khanacademy.org/video/complex-numbers--part-1?topic=core-algebra

Wracając do pierwszego pytania: Istnieją cztery różne smaki Transformacji Fouriera: Seria Fouriera (najprawdopodobniej pojawi się w szkole średniej), Transformacja Fouriera, Dyskretna Transformacja Fouriera i Dyskretna Seria Fouriera. Wszystkie z nich używają kombinacji sinusu i cosinusa (lub złożonego wykładniczego, co w zasadzie jest tym samym). Będziesz potrzebował obu.

Załóżmy, że obliczasz współczynniki Fouriera sinus i cosinus wejściowej fali sinusoidalnej. (W pewnych warunkach) przekonasz się, że wszystkie współczynniki Fouriera będą zerowe, z wyjątkiem jednego cosinusa i jednego współczynnika sinusoidy. Jednak w zależności od fazy wejściowej fali sinusoidalnej te dwie liczby będą się przemieszczać. Możesz dostać [0,707 0,707] lub [1 0], [0 -1] lub [-0,866 0,5] itd. Zobaczysz, że suma kwadratów tych dwóch liczb zawsze będzie wynosić 1, ale rzeczywista wartości zależą od fazy wejściowej fali sinusoidalnej.

Jeśli chcesz nurkować głęboko, spróbuj tego: http://www.dsprelated.com/dspbooks/mdft/

— Hilmar
źródło

Cześć Hilmar, dziękuję za odpowiedź! Zrobiłem sporo z liczbami zespolonymi i muszę się zgodzić: są one stosunkowo proste. Dobrze to słyszeć. Po trochę więcej zamieszania, obliczyłem wielkość sygnału wejściowego sin i cos dla DTFT i stwierdziłem, że amplituda była taka sama dla sin i cos. Dzięki szczególnie za książki referencyjne, będę teraz zajęta.

— ElectroNerd

2

Możesz zajrzeć do dostępnych materiałów

Projekt INFINITY: rozszerzenie edukacji inżynierskiej opartej na przetwarzaniu sygnałów na klasę szkoły średniej

dostępne tutaj

— Dilip Sarwate
źródło

To wygląda bardzo interesująco; Mogę spróbować polecić to mojej szkole.

— ElectroNerd

1

DTFT Dyskretna transformata Fouriera z czasem dyskretnym przyjmuje dyskretny nieskończony sygnał, ponieważ jego wejście i wyjście w dziedzinie częstotliwości jest ciągłe i ma okres 2 * pi. Jeśli chodzi o jego użycie, z mojego doświadczenia wynika, że DFT (Discretna transformata Fouriera) jest wykorzystywana do celów praktycznych. W pewnych warunkach łatwo jest wykazać, że DFT skończonego nieokresowego sygnału jest niczym innym jak próbkami DTFT o równej odległości. Ogólnie rzecz biorąc, jeśli zerujemy sekwencję w dziedzinie czasu (lub przestrzeni), otrzymamy coraz więcej próbek DTFT.

Najważniejsze jest to, że DFT jest bardzo przydatne, a DFT można postrzegać jako próbki DTFT o równych odstępach, aby uzyskać więcej próbek DTFT, pomaga zerowanie padu sygnału.

— pv.
źródło

Ma to sens: powiedziano mi, że im dłużej próbkujesz w dziedzinie czasu, tym lepsza rozdzielczość będzie w dziedzinie częstotliwości po obliczeniu DTFT. Naszkicowałem to za pomocą Pythona i Matplotliba ( Sine + zero padding , DTFT zera padding) To fajna sztuczka do zrobienia.

— ElectroNerd

Muszę powiedzieć, że musisz być ostrożny. Wielkim nieporozumieniem jest to, że wypełnienie zera sygnału zwiększa rozdzielczość częstotliwości - tak nie jest. Jedynym sposobem, aby naprawdę zwiększyć rozdzielczość częstotliwości, jest posiadanie większej ilości danych - więcej próbek w dziedzinie czasu. Teraz, gdy powiedziano, wypełnianie zerami pomaga, jeśli chcesz spojrzeć na swoje spektrum częstotliwości z interpolowanymi punktami między tym, co naprawdę obliczyłeś.

— Spacey,

1

Przede wszystkim pomaga uporządkować terminologię:

Funkcja w dziedzinie czasu jest znana jako sygnał .
Funkcja w dziedzinie częstotliwości jest znana jako widmo .

a_{n} = \frac{1}{π} \int^{T} s (x) \cos n x d x

$a_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\cos{nx}}\mkern3mudx$

b_{n} = \frac{1}{π} \int^{T} s (x) \sin n x d x

$b_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\sin{nx}}\mkern3mudx$

s_{f} (x) = \frac{a_{n}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cos (n x) + b_{n} s i n (n x)

$s_f(x)=\frac{a_n}2+\sum_{n=1}^\infty{a_n\cos(nx)+b_nsin(nx)}$

s_{f} (x) = s (x)

$s_f(x)=s(x)$

W tym równaniu a _n i b _n są odpowiednio rzeczywistą i urojoną częścią widma dyskretnego. Dlatego, jak widać, transformata Fouriera cosinusa będzie liczbą rzeczywistą, a dla sinusa będzie liczbą urojoną. T na integralnym oznacza, że jesteśmy integracji przez cały okres sygnału. Jest to przede wszystkim wykorzystywane w tak zwanej analizie harmonicznej, którą najczęściej stosowałem podczas analizy obwodów analogowych z sygnałami niesinusoidalnymi (fale kwadratowe, fale trójkątne itp.) Ale co, jeśli sygnał nie jest okresowy? To nie działa i musimy przejść do transformacji Fouriera.

Transformacja Fouriera przekształca ciągły sygnał w ciągłe widmo. W przeciwieństwie do serii Fouriera, transformata Fouriera pozwala na przekształcenie funkcji nieokresowej w widmo. Funkcja nieokresowa zawsze daje ciągłe spektrum.

Dyskretna transformata Fouriera osiąga taki sam wynik jak transformata Fouriera, ale działa na sygnale dyskretnym (cyfrowym), a nie ciągłym (analogowym). DTFT może generować ciągłe widmo, ponieważ ponieważ, jak poprzednio, nieokresowy sygnał zawsze będzie wytwarzał ciągłe widmo - nawet jeśli sam sygnał nie jest ciągły. Nieskończona liczba częstotliwości będzie nadal obecna w sygnale, nawet jeśli jest dyskretny.

Tak więc, aby odpowiedzieć na twoje pytanie, DTFT jest prawdopodobnie najbardziej użyteczny, ponieważ działa na sygnałach cyfrowych, a zatem pozwala nam projektować filtry cyfrowe. Filtry cyfrowe są dalekobardziej wydajny niż analogowy. Są znacznie tańsze, bardziej niezawodne i znacznie łatwiejsze do zaprojektowania. DTFT jest wykorzystywany w kilku aplikacjach. Z mojej głowy: syntezatory, karty dźwiękowe, sprzęt nagrywający, programy do rozpoznawania głosu i mowy, urządzenia biomedyczne i kilka innych. DTFT w czystej postaci jest najczęściej używany do analizy, ale DFT, który przyjmuje dyskretny sygnał i daje dyskretne widmo, jest zaprogramowany do większości powyższych zastosowań i jest integralną częścią przetwarzania sygnałów w informatyce. Najczęstszą implementacją DFT jest szybka transformata Fouriera. Jest to prosty algorytm rekurencyjny, który można znaleźć tutaj . Mam nadzieję, że to pomoże! Jeśli masz jakieś pytania, możesz je komentować.

— Zetta Suro
źródło

0

Jako pv. wspomniany DFT jest uzyskiwany przez próbkowanie DTFT w „Domenie częstotliwości”. Jak zapewne wiesz, sygnał w czasie dyskretnym jest uzyskiwany przez próbkowanie sygnału w czasie ciągłym. Aby jednak perfekcyjnie skonstruować sygnał czasu ciągłego z jego odpowiednika z czasem dyskretnym, częstotliwość próbkowania MUSI być większa niż częstotliwość Nyquista. Aby tak się stało, sygnał czasu ciągłego musi być ograniczony częstotliwością.

W przypadku DTFT i DFT historia jest w jakiś sposób odwrócona. Masz DTFT, który jest ciągły w domenie „Częstotliwość”. Zasadniczo nie można przechowywać ciągłego sygnału i przetwarzać go w komputerze. Rozwiązaniem jest pobieranie próbek! Próbkujesz z DTFT i wywołujesz wynik DFT. Jednak zgodnie z twierdzeniem o próbkowaniu, aby idealnie zrekonstruować DTFT z DFT, odpowiednik DTFT w dziedzinie czasu MUSI być ograniczony czasowo. Dlatego przed użyciem DFT należy użyć okienkowania.

— Sina
źródło