Optymalnie dopasowany filtr bez ISI

Biorąc pod uwagę filtr użyty do kształtowania sygnału cyfrowego, i biorąc pod uwagę, że nie chcemy, aby kombinacja filtrów powodowała jakikolwiek ISI, jaki „dopasowany” filtr zmaksymalizuje SNR?q ( x $p(x)$$q(x)$

Dopasowane filtry są używane w komunikacji cyfrowej, aby zmaksymalizować stosunek sygnału do szumu. Często do ukształtowania sygnału wykorzystywany jest filtr z uniesionym korzeniem, ponieważ jest on ograniczony w przestrzeni częstotliwości, a ten sam filtr może być zastosowany do odbieranego sygnału w celu poprawy stosunku sygnału do szumu (SNR) bez powodowania inter-symbolu -interferencja (ISI).

Jeśli jednak do ukształtowania sygnału zostanie użyty mniej optymalny filtr, wówczas użycie tego samego filtra w odbiorniku może wprowadzić ISI. Nie jest od razu oczywiste, jaki jest najlepszy wybór filtra po stronie odbiorczej.

Rozumiem, że SNR jest maksymalizowany przez maksymalizację , więc chcę to zmaksymalizować, jednocześnie spełniając ograniczenie, że filtry nie powodują ISI ( dla , jest liczbą całkowitą, jest szerokością symbolu). p ( x ) ∗ q ( x ) = 0 x = k T k $\int{p(x)q(x)dx}$$p(x)*q(x) = 0$$x=kT$$k$$T$

Prawdopodobnie można to zrobić, rozwiązując równanie Eulera-Lagrange'a z pewnymi mnożnikami Lagrange'a dla ograniczeń. Czy istnieje prostszy sposób, czy popełniam błąd lub podążam w złym kierunku?

W przypadku modulacji liniowej na kanale AWGN z symbolami możliwymi do zastosowania (bardzo częsty przypadek) optymalnym podejściem jest prawdziwe użycie filtra dopasowanego do kształtu fali symbolu, tj .:

Zastosowanie dopasowanego filtra zapewnia optymalny stosunek sygnału do szumu na wyjściu filtra w każdej chwili decyzyjnej. Łatwo to zauważyć, gdy pamiętasz, że dopasowany filtr działa jak przesuwający się korelator krzyżowy między swoim sygnałem wejściowym a oczekiwanym przebiegiem symbolu, korelując oba przy wszystkich możliwych opóźnieniach. W optymalnych momentach decyzyjnych odpowiedź impulsowa filtra (zwykle skalowana w celu uzyskania energii jednostkowej) dokładnie pokrywa się z transmitowanym symbolem, analogicznie do warunku zerowego opóźnienia w operacji korelacji krzyżowej. Przy tej wartości czasu, wyjście filtru jest równa ilości energii w odebranym symbolu, skalowany przez współczynnik zależny od danych (np BPSK, dopasowany filtr by wyjściowy i - e s ) plus składowa zakłóceń.$E_s$$-E_s$

Energia szumu na wyjściu filtra podczas chwili próbkowania nie jest zależna od kształtu w czasie odpowiedzi impulsowej filtra, tylko całkowita energia odpowiedzi impulsowej (jak wspomniano wcześniej, zazwyczaj jedność). Dlatego stosunek sygnału do szumu jest maksymalizowany przez maksymalizację ilości energii sygnału na wyjściu filtra w momencie próbkowania. Dokonaliśmy tego, wybierając filtr odbiornika, który ma być dopasowany do kształtu symbolu, ponieważ kształt fali symbolu ma maksymalną korelację z odpowiedzią impulsową filtra, która ma identyczny kształt. Zatem dopasowany filtr zapewnia maksymalny SNR dla przypadku kanału AWGN.

Z tą ręką machania ręką na uboczu (na pewno można to osiągnąć z większym rygorem matematycznym, ale jestem inżynierem i jest to bezpłatna usługa; jeśli chcesz zagłębić się w szczegóły, sprawdź dowolną teorię komunikacji cyfrowej tekst), możesz myśleć, że zapomniałem, że zapytałeś o nieidealny przypadek ISI. Nie obawiaj się, bo twierdzę, że jeśli znasz kształt przesyłanego impulsu, dopasowany filtr jest nadal optymalnym wyborem dla kanału AWGN.

$p(x)$$q(x)$

Oczywiście zazwyczaj nie wiadomo z pewnością, jakie były poprzednie kilka symboli; jeśli tak, to możesz mieć wystarczająco wysoki współczynnik SNR, że twój ISI można zlekceważyć. W bardziej interesującym przypadku nie można przyjąć takiego założenia. Zamiast tego stosuje się metodę wykrywania sekwencji o najwyższym prawdopodobieństwie z wykorzystaniem algorytmu Viterbi. Proces ten nazywa się wyrównywaniem Viterbiego , ponieważ w tym modelu traktujesz ISI indukowany przez kształt impulsu jak kod splotowy o miękkiej wartości, który jest stosowany do kształtu fali nadawania. Czas trwania ISI w korektorze Viterbi określa wymaganą liczbę stanów algorytmu, podobną do długości ograniczenia w kodzie splotowym.

Takie podejście jest często stosowane w systemach o nieoptymalnym kształcie impulsu, który zanotowałeś; jednym godnym uwagi przykładem jest GSM (który wykorzystuje kształt impulsu Gaussa, który rozciąga się na wiele przedziałów symboli). Jedno świetne odniesienie na ten temat zostało opublikowane przez Sklar w 2003 roku:

B. Sklar, „Jak nauczyłem się kochać kratę”, IEEE Signal Processing Magazine, s. 87–102, maj 2003