Intuicyjna interpretacja transformaty Laplace'a

Więc chwytam się transformacji Fouriera. Intuicyjnie teraz zdecydowanie rozumiem, co robi i niedługo będę śledzić niektóre zajęcia z matematyki (czyli faktyczny przedmiot). Ale potem czytam o transformacie laplace'a i tam niejako ją gubię. Jaki jest moment sygnału? Dlaczego transformacja Fouriera jest specjalnym przypadkiem transformaty Laplace'a? Jak mogę poradzić sobie z transformacją Laplace'a?

Przejrzałem te źródła, zanim zadałem to pytanie:

Co rozumie się przez „odpowiedź impulsową” i „odpowiedź częstotliwościową” systemu?

Jak odróżnić różne domeny częstotliwości?

Amplituda a odpowiedź częstotliwościowa

Dlaczego transformacja Fouriera jest tak ważna?

http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

Jeśli rozumiesz transformaty Fouriera, to prawdopodobnie masz już koncepcyjny model transformacji sygnałów w dziedzinę częstotliwości. Transformacja Laplace'a zapewnia alternatywną reprezentację w dziedzinie częstotliwości sygnału - zwykle określaną jako „domena S” w celu odróżnienia go od innych transformacji w dziedzinie częstotliwości (takich jak transformata Z - która jest zasadniczo pozbawionym wyrazu odpowiednikiem transformaty Laplace'a).

Jaki jest moment sygnału?

Jak zapewne nie wiadomo, transformata Laplace'a daje nam opis sygnału z jego chwil, podobnie jak transformacja Fouriera daje nam opis z fazy i amplitud.

Mówiąc ogólnie, można rozważyć moment, w którym próbka odbiega od średniej wartości sygnału - pierwszy moment jest w rzeczywistości średnią, drugi to wariancja itp ... (są one znane łącznie jako „momenty rozkładu”)

Biorąc pod uwagę naszą funkcję F (t), możemy obliczyć n-tą pochodną przy t = 0, aby dać nasz n-ty moment. Tak jak sygnał można całkowicie opisać za pomocą fazy i amplitudy, tak można go całkowicie opisać za pomocą wszystkich jego pochodnych.

Dlaczego transformacja Fouriera jest specjalnym przypadkiem transformaty Laplace'a?

Jeśli spojrzymy na dwustronną transformację laplace:

Powinno być całkiem oczywiste, że zmiana $s=i\omega$ da znane równanie transformaty Fouriera:

Istnieją pewne uwagi na temat tego związku ( http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Fourier_transform ), ale matematyka powinna być dość przejrzysta.

Dlaczego transformacja Fouriera jest specjalnym przypadkiem transformaty Laplace'a?

Transformacja Laplace'a tworzy powierzchnię 2D o wartościach zespolonych, podczas gdy transformacja Fouriera tworzy linię 1D o wartościach zespolonych. Transformata Fouriera jest uzyskiwana po przecięciu transformaty Laplace'a wzdłuż osi jω. Na przykład prosty filtr dolnoprzepustowy$H(s)=\frac{1}{s+1}$ ma pojedynczy biegun w płaszczyźnie S po lewej stronie źródła:

Patrząc z boku, wielkość tej transformaty Laplace'a tworzy powierzchnię, z biegunem działającym jak słup namiotu, który podnosi amplitudę do nieskończoności w tym punkcie (i implikowanym zerem w nieskończoności, który obniża amplitudę do zera dalej od odległości pochodzenie otrzymujesz w dowolnym kierunku):

Jeśli teraz weźmiesz wartość powierzchni tylko wzdłuż osi jω, jest to transformata Fouriera. Jest to czerwona krzywa na powyższym obrazku, którą widać jako filtr dolnoprzepustowy. Gdyby odsunąć drążek dalej od początku, namiot poruszałby się w tym samym kierunku, a plasterek wzdłuż osi jω spadłby, zmniejszając zarówno wzmocnienie (które kompensujemy przez dodanie ogólnego wzmocnienia), jak i zwiększając częstotliwość odcięcia. Chciałem zrobić animacje takich rzeczy ...

http://www.maximintegrated.com/en/app-notes/index.mvp/id/733

https://dsp.stackexchange.com/a/9579/29

Najlepszy intuicyjny opis transformacji Laplace'a, jaki kiedykolwiek widziałem:

Na pierwszy rzut oka wydaje się, że strategia transformaty Laplace'a jest taka sama jak transformata Fouriera: skoreluj sygnał w dziedzinie czasu z zestawem funkcji podstawowych w celu dekompozycji kształtu fali. Nie prawda! Mimo że matematyka jest prawie taka sama, uzasadnienie obu technik jest bardzo różne.

Transformację Laplace'a można postrzegać jako badanie odpowiedzi impulsowej układu różnymi sinusoidami rozkładającymi się wykładniczo. Przebiegi sondujące, które powodują anulowanie, nazywane są biegunami i zerami.

To pozwala nam zamiast opisywać pasmo przenoszenia dla każdego $\omega$ użyj małego zestawu punktów charakterystycznych, które określają zachowanie systemu we wszystkich innych punktach (w tym w części $s$-samolot $s=j\omega$ która jest odpowiedzią częstotliwościową).

Jest ładna analogia do tego w książce:

Pomyśl teraz o tym, jak rozumiesz związek między wysokością a odległością na trasie pociągu, w porównaniu z przewodnikiem. Ponieważ bezpośrednio zmierzyłeś wysokość po drodze, możesz słusznie twierdzić, że wiesz wszystko o związku. Dla porównania, przewodnik zna tę samą kompletną informację, ale w prostszej i bardziej intuicyjnej formie: położenie wzgórz i dolin, które powodują spadki i garby wzdłuż ścieżki. Chociaż opis sygnału może składać się z tysięcy pojedynczych pomiarów, opis sygnału w przewodniku będzie zawierał tylko kilka parametrów.