Kiedy używać DTFT w porównaniu do DFT (i ich odwrotności) w analizie?

W wielu moich odczytach, ilekroć jakiś autor mówi o pracy w dziedzinie częstotliwości (transformacji) (sygnału cyfrowego), często przyjmuje DFT lub DTFT (i oczywiście odpowiadające im odwrotności). Różni autorzy będą mieli tendencję do pracy z jednym lub drugim.

Nie byłem w stanie naprawdę ustalić konkretnego wzoru w tym zakresie. Dlaczego więc miałbyś wybierać DTFT zamiast DFT lub odwrotnie w wyjaśnianiu algorytmów? Gdzie jedno pomaga ci w drugim?

DFT i DTFT są oczywiście podobne, ponieważ oba generują czterokierunkowe widmo sygnałów dyskretnych czasowo. Jednakże, podczas gdy DTFT jest zdefiniowane do przetwarzania nieskończenie długiego sygnału (suma od-nieskończoności do nieskończoności), DFT jest zdefiniowane do przetwarzania sygnału okresowego (część okresowa ma skończoną długość).

Wiemy, że liczba przedziałów częstotliwości w twoim spektrum jest zawsze równa liczbie przetworzonych próbek, więc daje to również różnicę w wytwarzanych widmach: widmo DFT jest dyskretne, podczas gdy widmo DTFT jest ciągłe (ale oba są okresowe z w odniesieniu do częstotliwości Nyquista).

Ponieważ nie można przetworzyć nieskończonej liczby próbek, DTFT ma mniejsze znaczenie dla faktycznego przetwarzania obliczeniowego; istnieje głównie do celów analitycznych.

Jednak DFT, ze swoją skończoną długością wektora wejściowego, doskonale nadaje się do przetwarzania. Fakt, że sygnał wejściowy ma być fragmentem sygnału okresowego, jest jednak najczęściej pomijany: po przekształceniu widma DFT z powrotem do dziedziny czasu otrzymamy ten sam sygnał, dla którego obliczono widmo pierwsze miejsce.

Chociaż nie ma to znaczenia dla obliczeń, należy zauważyć, że to, co widzisz, nie ma rzeczywistego spektrum twojego sygnału . Jest to spektrum sygnału teoretycznego, który otrzymalibyśmy, gdybyśmy okresowo powtarzali wektor wejściowy.

Zakładam więc, że w literaturze, o której wspominałeś, za każdym razem, gdy ważne jest, aby widmo, z którym pracujesz, faktycznie było widmem i pomijając stronę obliczeniową rzeczy, autor wybrał DTFT.

DTFT jest używany, gdy matematyka dla udowodnienia pewnego punktu jest łatwiejsza (oszczędza na papierze i / lub kredie) przy założeniu nieskończonej liczby próbek. To znaczy, że w rzeczywistości jest to bezużyteczne (będziesz martwy na długo, zanim znajdziesz wystarczającą ilość próbek).

DFT ma miejsce wtedy, gdy wybierzesz użyteczną skończoną liczbę próbek do pracy (dając ci ładną skończoną matrycę kwadratową pomnożoną przez dokładny odpowiednik), niezależnie od tego, czy są one okresowe (zakładając, że okresowość długości ramki jest kolejnym złudzeniem w umysłach niektórych osób aby ponownie uczynić matematykę łatwiejszą do opanowania). Użycie DFT zwykle oznacza okno (prostokątne, jeśli nie coś innego), co nie jest konieczne w DTFT. To okno zawiera czasem nieprzyjemne artefakty, a także oczywistą utratę informacji o sygnale za oknem, co jest wadą DFT.

$-\infty$$+\infty$