Zamieszanie na temat Quantum Monte Carlo

Moje pytanie dotyczy wydobycia obserwowalnych metod QMC, jak opisano w tym odnośniku .

Rozumiem formalne wyprowadzenie różnych metod QMC, takich jak Path Integral Monte Carlo. Jednak pod koniec dnia wciąż nie rozumiem, jak skutecznie korzystać z tych technik.

Podstawową ideą wyprowadzania metod MC kwantowych jest dyskrecja, za pomocą aproksymacji Trottera, operatora, który może być albo macierzą gęstości, albo operatorem ewolucji czasowej układu kwantowego. Otrzymujemy następnie klasyczny system z dodatkowym wymiarem, który można leczyć metodami MC.

Biorąc pod uwagę, że możemy interpretować w operatorze kwantowa zarówno jako odwrotności temperatury i czasu urojonego, celem tych algorytmów należy obliczyć przybliżoną wartość tego operatora. Rzeczywiście, gdybyśmy mierzyli bezpośrednio wielkości z różnych konfiguracji próbkowanych wzdłuż symulacji, w przypadku „temperatury odwrotnej” mielibyśmy próbki uwzględniające gęstość prawdopodobieństwa na podstawie , gdzie $\beta$ $e^{−\beta\hat{H}}$ $\beta/M$ $M$ to liczba dyskretnych kroków wprowadzonych do rozkładu Trottera. Zamiast tego w przypadku „wyimaginowanego czasu” otrzymywalibyśmy próbki w różnych dyskretnych przedziałach czasowych, uzyskując w ten sposób średnie także dla tego czasu. My również nie byłoby uzyskanie ilości jak w danym czasie , z niektóre zaobserwować operatora. $\langle\psi_t|\hat{A}|\psi_t\rangle$ $t$ $\hat{A}$

Jednak moim zdaniem ilości, które pobieramy bezpośrednio z tego rodzaju symulacji (zaczerpniętych z (5.34) dokumentu, strona 35):

\bar{O} \equiv ⟨ \hat{O} (X) ⟩ \equiv \frac{1}{N!} \sum_{P} \int O (X) π (X, P) d X

$\bar{O} \equiv \langle \hat{O}(X) \rangle \equiv \frac{1}{N!} \sum_P \int O(X) \pi(X,P) dX$

nie mogą być wielkościami związanymi z układem kwantowym, biorąc pod uwagę dodatkowy wymiar. Zamiast tego prawidłowe ilości kwantowe można obliczyć za pomocą wzorów takich jak (5.35), które zawierają w każdej próbce cały łańcuch symulacji konfiguracji: $M$

\frac{E_{t h}}{N} = ⟨ \frac{d}{2 τ} - \frac{m}{2 (ℏ τ)^{2} M N} \sum_{j = 1}^{M} (R_{j} - R_{j + 1})^{2} + \frac{1}{M N} \sum_{j = 1}^{M} V (R_{j}) ⟩

$\frac{E_{th}}{N}= \left\langle \frac{d}{2 \tau} - \frac{m}{2 (\hbar \tau)^2MN } \sum_{j=1}^{M} (\mathbf{R}_j -\mathbf{R}_{j+1})^2 + \frac{1}{MN} \sum_{j=1}^{M} V(\mathbf{R}_j) \right\rangle$

Czy mam rację, że do wyodrębnienia przydatnych informacji o danym obserwowalnym potrzebna jest seria symulacji QMC?

monte-carlo quantum-mechanics

— Pippo
źródło

Pod warunkiem, że dobrze cię rozumiem, uderza mnie, że oba podejścia są równoważne, jeśli system jest ergodyczny.

— Daniel Shapero,

@DanielShapero Co dokładnie masz na myśli mówiąc, że jesteś ekwiwalentem?

— Pippo

Właśnie zintegrowałem ścieżkę z Google do Monte Carlo i powinieneś po prostu zignorować to, co powiedziałem, to nie ma znaczenia.

— Daniel Shapero

Nie sądzę, aby istniały jakiekolwiek wątpliwości dotyczące Quantum Monte Carlo; jest bardzo dobrze rozumiany i rygorystycznie poparty teoretycznie ...

— Nick

Co rozumiesz przez

jest liczbą, a jeśli

jest dyskretyzacją, jak powiedziałeś, jest zbiorem. Czy

ma być numerem kłusaka?

β / M

$\beta/M$

β

$\beta$

M

$M$

M

$M$

— Dan

Odpowiedzi:

W twoim pytaniu jest wiele zamieszania. Najważniejsze dla mnie jest to, że tęsknisz za „naiwną” QMC, którą jest obliczanie całek Monte-Carlo w jakiejś metodzie wariacyjnej i dyfuzja Monte-Carlo to różne metody o różnej argumentacji i derywacji.

Najważniejszy jest jednak czas wyobrażony. W dyfuzji wyimaginowany czas Monte-Carlo polega na przekształceniu niezależnego od czasu równania Schroingerera w zależne od czasu równanie podobne do dyfuzji, którego rozwiązanie w nieskończonym „czasie” zmierza do rozwiązania pierwotnego równania Schroingerera. Otóż to. Czas w DQMC nie jest prawdziwy.

Stosunkowo dobre, ale proste wyjaśnienie znajduje się w Reviews of Modern Physics, 73, 33 (2001) .

PS Przy okazji, co rozumiesz przez „przybliżenie kłusaka” w swoim pytaniu?

— Misza
źródło

Nie sądzę, że to zamieszanie jest moim pytaniem, ponieważ nigdy nie wspomniałem o Diffusion MC, którego idea jest zupełnie inna, chociaż zaczyna się również od dyskretyzacji operatora gęstości / ewolucji czasu (ale kończy się na innej interpretacji to).

— Pippo,

Przez „przybliżenie kłusaka” mam na myśli przybliżenie operatora

e^{- β \hat{H}}

$e^{−\beta\hat{H}}$

e^{- τ \hat{H}} \cdot e^{- τ \hat{H}} \cdot . . . \cdot e^{- τ \hat{H}}

$e^{−\tau\hat{H}}\cdot e^{−\tau\hat{H}}\cdot ... \cdot e^{−\tau\hat{H}}$

τ

$\tau$

β / M

$\beta/M$

Przy okazji, na końcu rozwiązałem swój problem, zwracając się bezpośrednio do profesora na koniec egzaminu (co poszło bardzo dobrze: D), i tak, nie możemy bezpośrednio połączyć symulowanych wielkości z kwantowymi.

— Pippo,

@Ppopo Tak więc to, co miałeś na myśli, to Path-Integral Monte Carlo. Nadal nie widzę, żebyś wspomniał o tym w swoim pytaniu.

— Misha,

Drugi wiersz: „Rozumiem formalne wyprowadzenie różnych metod QMC, takich jak Path Integral Monte Carlo”. ;)

— Pippo,

Masz rację, że ludzie cały czas używają technik Monte Carlo do obliczania średnich statystycznych (w przeciwieństwie do informacji rozdzielonych czasowo). Niekoniecznie jest prawdą, że należy to obliczyć: zależy to od tego, jakiego rodzaju informacji chcesz. Być może masz na przykład zewnętrzne wymuszenie zależne od czasu i chcesz zobaczyć, jak system ewoluuje w odpowiedzi.

— Dan
źródło

Dziękuje za odpowiadanie. Spróbuję podać więcej szczegółów na temat tego, o co proszę. Aby uczynić siebie bardziej zrozumiałym, odniosę się do pracy, którą znalazłem w Internecie: itp.phys.ethz.ch/education/fs12/cqp/chapter05.pdf

— Pippo

Podstawową ideą wyprowadzania metod MC kwantowych jest dyskrecja, za pomocą aproksymacji Trottera, operatora, który może być albo macierzą gęstości, albo operatorem ewolucji czasowej układu kwantowego; w ten sposób otrzymujemy klasyczny system z dodatkowym wymiarem, który można leczyć metodami MC.

— Pippo

M

$M$

Oto moje pytanie: czy mam rację co do mojej interpretacji metod Quantum Monte Carlo?

— Pippo

Będę również edytować moje oryginalne pytanie.

— Pippo