Jaki jest cel wykorzystania integracji przez części w celu uzyskania słabej formy dyskretyzacji MES?

24

Przechodząc od silnej formy PDE do postaci MES, wydaje się, że zawsze należy to zrobić, najpierw określając formę wariacyjną. Aby to zrobić, pomnóż silną formę przez element w pewnej przestrzeni (Sobolewa) i zintegruj w swoim regionie. Mogę to zaakceptować. Nie rozumiem, dlaczego trzeba także użyć formuły Greena (jeden lub kilka razy).

Pracowałem głównie z równaniem Poissona, więc jeśli weźmiemy to (z jednorodnymi warunkami brzegowymi Dirichleta) jako przykład, tj.

\begin{aligned} - \nabla^{2} u & = f, u \in Ω \\ u & = 0, u \in \partial Ω \end{aligned}

$\begin{align} -\nabla^2u &= f,\quad u\in\Omega \\ u &= 0, \quad u\in\partial\Omega \end{align}$

następnie twierdzi się, że poprawnym sposobem formowania formy wariacyjnej jest

\begin{aligned} \int_{Ω} f v d \vec{x} & = - \int_{Ω} \nabla^{2} u v d \vec{x} \\ = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d \vec{x} - \int_{\partial Ω} \vec{n} \cdot \nabla u v d \vec{s} \\ = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d \vec{x} . \end{aligned}

$\begin{align} \int_\Omega fv\,\mathrm{d}\vec{x} &= -\int_\Omega\nabla^2 uv\,\mathrm{d}\vec{x} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x} - \int_{\partial\Omega}\vec{n}\cdot\nabla u v\,\mathrm{d}\vec{s} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x}. \end{align}$

Ale co powstrzymuje mnie od używania wyrażenia w pierwszym wierszu, czy nie jest to również forma wariacyjna, której można użyć do uzyskania formularza MES? Czy to nie odpowiada dwuliniowym i liniowym formom $b(u,v)=(\nabla^2 u, v)$ i $l(v)=(f, v)$ ? Czy problem polega na tym, że jeśli użyję liniowych funkcji bazowych (funkcji kształtu), to będę miał kłopoty, ponieważ moja macierz sztywności będzie macierzą zerową (nieodwracalną)? Ale co, jeśli użyję nieliniowych funkcji kształtu? Czy nadal muszę używać formuły Greena? Jeśli nie muszę: czy jest to wskazane? Jeśli nie, czy mam sformułowanie wariacyjne, ale nie słabe?

Powiedzmy teraz, że mam PDE z pochodnymi wyższego rzędu, czy to oznacza, że istnieje wiele możliwych form wariacyjnych, w zależności od tego, jak używam wzoru Greena? I wszystkie prowadzą do (różnych) przybliżeń MES?

pde finite-element elliptic-pde

— chrześcijanin
źródło

Powiązane: scicomp.stackexchange.com/questions/667/…

— Paul

18

Krótka odpowiedź:

Nie, nie musisz wykonywać integracji dla niektórych MES. Ale w twoim przypadku musisz to zrobić.

Długa odpowiedź:

Powiedzmy jest rozwiązaniem elementów skończonych. Jeśli zdecydujesz się odcinkowo liniowy wielomian jako podstawa, a następnie biorąc na nim daje rozkład zamówienie 1 (myślę biorąc pochodną na funkcja skokowa heaviside'a) oraz integracja pomnożenie będzie tylko ma sens, jeśli weźmiesz go jako parę dualności, a nie jako produkt wewnętrzny . Nie dostaniesz macierzy zerowej, twierdzenie o reprezentacji Riesza mówi, że w jest element $u_h$ $\Delta$ $-\Delta u_h\in H^{-1}$ $v$ $L^2$ $\varphi_{-\Delta u_h} \in H^1_0$ można charakteryzować parę dwoistość produktem wewnętrznej w : Całkowanie przez element element po elemencie rzuci światło na tę parę dualności: dla element w tej triangulacji $H^1$
$⟨ - Δ u_{h}, v ⟩_{H^{- 1}, H_{0}^{1}} = \underset{inner product in H^{1}}{\underset{⏟}{\int_{Ω} \nabla φ_{- Δ u_{h}} \cdot \nabla v}} .$ $\langle-\Delta u_h ,v \rangle_{H^{-1},H^1_0} = \underbrace{\int_{\Omega}\nabla \varphi_{-\Delta u_h} \cdot \nabla v}_{\text{inner product in }H^1}.$ $u_h$ $T$ to mówi, że powinna zawierać między element strumienia skok w jego reprezentację pary rozdwojenie zauważ, integracja na brzegu każdego elementu jest również para rozdwojenie pomiędzy i . Nawet jeśli używasz kwadratową podstawę, która ma niezanikające na każdym elemencie, nadal nie można napisać jako produkt wewnętrznej, z powodu obecności Inter-element strumienia skakać za. $\int_{Ω} \nabla u_{h} \cdot \nabla v = - \sum_{T} (\int_{T} Δ u_{h} v + \int_{\partial T} \frac{\partial u_{h}}{\partial n} v d S),$ $\int_{\Omega}\nabla u_h \cdot \nabla v = -\sum_{T}\left(\int_{T} \Delta u_h\,v + \int_{\partial T}\frac{\partial u_h}{\partial n}v\,dS\right),$ $-\Delta u_h$ $H^{1/2}$ $H^{-1/2}$ $\Delta$ $(\Delta u, v)$
$W^{k,p}$ $W^{k,p}$ $H^1$ $H^2$ $H^2$ $\Delta u_h$
${\begin{cases} σ = - \nabla u, \\ \nabla \cdot σ = f . \end{cases}$ $\begin{cases} \boldsymbol{\sigma} = -\nabla u, \\ \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} = f. \end{cases}$ $J (v) = ‖ σ + \nabla u ‖_{L^{2} Ω}^{2} + ‖ \nabla \cdot σ - f ‖_{L^{2} Ω}^{2},$ $\mathcal{J}(v) = \|\boldsymbol{\sigma} + \nabla u\|_{L^2{\Omega}}^2 + \|\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} - f\|_{L^2{\Omega}}^2,$ niosąc tego samego ducha z funkcją Ritza-Galerkina, sformułowanie elementu skończonego polegające na zminimalizowaniu powyższej funkcjonalności w przestrzeni elementu skończonego nie wymaga integracji przez części.

— Shuhao Cao
źródło

17

$H^2$ $H^2$

— Reid.Atcheson
źródło

1

H^{2}

$H^2$

L^{2}

$L^2$

1

To, co mówisz, jest zasadniczo słuszne. Jeśli chodzi o PDE wyższego niż drugiego rzędu, niekoniecznie musisz używać spacji o większej regularności, ponieważ zapisanie mieszanego sformułowania (patrz odpowiedź Shuhao) może pomóc. Możesz również użyć innych technik, takich jak kara za skok, aby uniknąć tej trudności. Aby uzyskać klasyczną odpowiedź MES, tak, potrzebna byłaby większa regularność.

— Reid.Atcheson

2

Podkreślę znaczenie symetrii. Jeśli operator różniczkowy jest samosprzężony, spodziewam się, że skończy się na macierzy symetrycznej. Bez integracji przez części tak się nie stanie.

— Stefano M

1

Dodając to, przyszło mi na myśl przede wszystkim korzyści obliczeniowe, ale czy istnieją również silne teoretyczne korzyści symetrii (pomijając łatwiejsze dowody faktów, które prawdopodobnie nadal istnieją w przypadku eliptycznym, nawet jeśli dyskretyzacja jest niesymetryczna)?

— Reid.Atcheson

15

Doskonałe odpowiedzi już na tej stronie, ale wciąż brakuje (małego) punktu.

OP zapytał:

Powiedzmy teraz, że mam PDE z pochodnymi wyższego rzędu, czy to oznacza, że istnieje wiele możliwych form wariacyjnych, w zależności od tego, jak używam wzoru Greena? I wszystkie prowadzą do (różnych) przybliżeń MES?

Integracja przez części (w prawidłowy sposób) jest ważna, gdy masz warunki brzegowe typu Neumanna. W rzeczywistości to na podstawie IBP bierzesz pod uwagę Neumann bc w swoim sformułowaniu wariacyjnym. Forma Neumann bc zależy od sposobu integracji przez części, por. ta odpowiedź na całkowanie przez części w liniowej elastyczności. Tak więc nawet dla eliptycznych PDE drugiego rzędu, integracja przez części musi być przeprowadzona w określony sposób, aby uzyskać formułę wariacyjną ważną dla Neumanna lub mieszanych warunków brzegowych. (I to oczywiście bez względu na fakt, że dyskrecjonujesz przez MES).

W fizyce matematycznej, gdzie Neumann bc ma dobrze zdefiniowane znaczenie (strumień ciepła, naprężenie ...), integracja części jest ważna dla zachowania poprawnej interpretacji wyników. Jest to prawdą nawet w przypadku jednorodnych warunków Dirichleta i MES, ponieważ jeśli zastosujemy metodę mnożnika Lagrange'a, aby narzucić bc, mnożniki stają się wielkościami fizycznymi, takimi jak skoncentrowane strumienie lub siły.

— Stefano M.
źródło