Metody te można ogólnie opisane w odniesieniu do dwóch metod czasowych stąpania, tutaj oznaczony przez i F . Zarówno G, jak
i F propagują wartość początkową
U n ≈ u ( t n ) , przybliżając rozwiązanie dosolfasolfaUn≈ U ( tn)
u(t)=u0+∫t0f(τ,u(τ))dτ
od do t n + 1 (tj ˙ U = K ( u , t ) ). Aby metody były skuteczne, musi być tak, że propagator G jest obliczeniowo tańszy niż propagator F , a zatem
G jest zazwyczaj metodą niskiego rzędu. Ponieważ całkowita dokładność metody jest ograniczone przez dokładność
F propagatora, M jest zazwyczaj wyższego rzędu, a ponadto można stosować mniejsze, niż w czasie etapu
G . Z tych powodów Gtntn+1u˙= f( u , t )solfasolfafasolsoljest określany jako gruby propagator, a drobny propagator.fa
Metoda Parareal rozpoczyna się od obliczenia pierwszego przybliżenia
dla n = 0 … N - 1, gdzie N jest liczbą kroków czasowych, z wykorzystaniem gruboziarnistego propagatora. Sposób Parareal następnie przebiega iteracyjnie, na przemian równolegle obliczania F ( t n + 1 , t n , U k n ) oraz zmiana warunków początkowych w każdym procesorze formieU0n + 1n = 0 … N- 1N.fa( tn + 1, tn, Ukn)
Uk + 1n + 1= G ( tn + 1, tn, Uk + 1n) + F.( tn + 1, tn, Ukn) - G ( tn + 1, tn, Ukn)
n = 0 … N- 1solfa
Metoda PITA jest bardzo podobna do Parareal, ale śledzi poprzednie aktualizacje i aktualizuje tylko stan początkowy na każdym procesorze w sposób przypominający metody podprzestrzeni Kryłowa. To pozwala PITA rozwiązać liniowe równania drugiego rzędu, których Parareal nie może.
Metoda PFASST różni się od metod Parareal i PITA na dwa podstawowe sposoby: po pierwsze, opiera się na iteracyjnym schemacie krokowym z przesunięciem w czasie Spectral Deferred Correction (SDC), a po drugie zawiera korekty schematu pełnej aproksymacji gruboziarnistego propagatora, aw rzeczywistości PFASST może korzystać z hierarchii propagatorów (zamiast tylko dwóch). Użycie SDC pozwala na hybrydyzację iteracji czasowo-równoległych i SDC, co rozluźnia ograniczenia wydajności Parareal i PITA. Korzystanie z poprawek FAS zapewnia dużą elastyczność przy konstruowaniu gruboziarnistych propagatorów PFASST (obniżenie grubości grubych propagatorów pomaga zwiększyć wydajność równoległą). Strategie zgrubienia obejmują: zgrubienie czasowe (mniej węzłów SDC), zgrubienie przestrzeni (dla PDE opartych na siatce), zgrubienie operatora i zmniejszoną fizykę.
Mam nadzieję, że to zarysuje podstawy, różnice i podobieństwa między algorytmami. Więcej informacji można znaleźć w referencjach w tym poście .
Jeśli chodzi o zastosowania, metody zostały zastosowane do wielu różnych równań (orbit planetarnych, Naviera-Stokesa, układów cząstek, układów chaotycznych, dynamiki strukturalnej, przepływów atmosferycznych itp.). Stosując równoległość czasową do danego problemu, z pewnością powinieneś zweryfikować metodę w sposób odpowiedni do rozwiązania problemu.