Jakie są różnice między Parareal, PITA i PFASST?

Algorytmy Parareal, PITA i PFASST są technikami obejmującymi całą domenę , służącymi do równoległego rozwiązywania problemów zależnych od czasu w czasie.

1. Jakie są główne zasady tych metod?

2. Jakie są główne różnice między nimi?

3. Czy mogę powiedzieć, że jedna opiera się na innej? W jaki sposób?

4. Co z ich aplikacjami?

Wiem, że nie będzie odpowiedzi na pytanie „co jest lepsze?”, Ale dobre zrozumienie obszarów ich zastosowania i warunków walidacji jest dla mnie pomocne.

Metody te można ogólnie opisane w odniesieniu do dwóch metod czasowych stąpania, tutaj oznaczony przez i F . Zarówno G, jak i F propagują wartość początkową U n ≈ u ( t n ) , przybliżając rozwiązanie do$G$$F$$G$$F$$U_n \approx u(t_n)$

$$u(t) = u_0 + \int_0^t f(\tau,u(\tau)) \,d\tau$$

od do t n + 1 (tj ˙ U = K ( u , t ) ). Aby metody były skuteczne, musi być tak, że propagator G jest obliczeniowo tańszy niż propagator F , a zatem G jest zazwyczaj metodą niskiego rzędu. Ponieważ całkowita dokładność metody jest ograniczone przez dokładność F propagatora, M jest zazwyczaj wyższego rzędu, a ponadto można stosować mniejsze, niż w czasie etapu G . Z tych powodów $t_n$$t_{n+1}$$\dot{u} = f(u,t)$$G$$F$$G$$F$$F$$G$$G$jest określany jako gruby propagator, a drobny propagator.$F$

Metoda Parareal rozpoczyna się od obliczenia pierwszego przybliżenia dla n = 0 … N - 1, gdzie N jest liczbą kroków czasowych, z wykorzystaniem gruboziarnistego propagatora. Sposób Parareal następnie przebiega iteracyjnie, na przemian równolegle obliczania F ( t n + 1 , t n , U k n ) oraz zmiana warunków początkowych w każdym procesorze formie$U_{n+1}^0$$n = 0 \ldots N-1$$N$$F(t_{n+1},t_n,U_n^k)$

$$U_{n+1}^{k+1} = G(t_{n+1}, t_n, U_n^{k+1}) + F(t_{n+1}, t_n, U_n^k) - G(t_{n+1}, t_n, U_n^{k})$$

$n = 0 \ldots N-1$$G$$F$

Metoda PITA jest bardzo podobna do Parareal, ale śledzi poprzednie aktualizacje i aktualizuje tylko stan początkowy na każdym procesorze w sposób przypominający metody podprzestrzeni Kryłowa. To pozwala PITA rozwiązać liniowe równania drugiego rzędu, których Parareal nie może.

Metoda PFASST różni się od metod Parareal i PITA na dwa podstawowe sposoby: po pierwsze, opiera się na iteracyjnym schemacie krokowym z przesunięciem w czasie Spectral Deferred Correction (SDC), a po drugie zawiera korekty schematu pełnej aproksymacji gruboziarnistego propagatora, aw rzeczywistości PFASST może korzystać z hierarchii propagatorów (zamiast tylko dwóch). Użycie SDC pozwala na hybrydyzację iteracji czasowo-równoległych i SDC, co rozluźnia ograniczenia wydajności Parareal i PITA. Korzystanie z poprawek FAS zapewnia dużą elastyczność przy konstruowaniu gruboziarnistych propagatorów PFASST (obniżenie grubości grubych propagatorów pomaga zwiększyć wydajność równoległą). Strategie zgrubienia obejmują: zgrubienie czasowe (mniej węzłów SDC), zgrubienie przestrzeni (dla PDE opartych na siatce), zgrubienie operatora i zmniejszoną fizykę.

Mam nadzieję, że to zarysuje podstawy, różnice i podobieństwa między algorytmami. Więcej informacji można znaleźć w referencjach w tym poście .

Jeśli chodzi o zastosowania, metody zostały zastosowane do wielu różnych równań (orbit planetarnych, Naviera-Stokesa, układów cząstek, układów chaotycznych, dynamiki strukturalnej, przepływów atmosferycznych itp.). Stosując równoległość czasową do danego problemu, z pewnością powinieneś zweryfikować metodę w sposób odpowiedni do rozwiązania problemu.