Ciśnienie jako mnożnik Lagrange'a

W nieściśliwych równaniach Naviera-Stokesa

\begin{aligned} ρ (u_{t} + (u \cdot \nabla) u) & = - \nabla p + μ Δ u + f \\ \nabla \cdot u & = 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \rho\left(\mathbf{u}_t + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}\right) &= - \nabla p + \mu\Delta\mathbf{u} + \mathbf{f}\\ \nabla\cdot\mathbf{u} &= 0 \end{align*}$ pojęcie ciśnienia jest często określane jako mnożnik Lagrange'a wymuszający warunek nieściśliwości.

W jakim sensie to prawda? Czy istnieje sformułowanie nieściśliwych równań Naviera-Stokesa jako problemu optymalizacji podlegającego ograniczeniu nieściśliwości? Jeśli tak, to czy istnieje numeryczny analog, w którym równania przepływu nieściśliwego płynu są rozwiązywane w ramach optymalizacji?

— Ben
źródło

- μ Δ u + \nabla p = f \nabla \cdot u = 0

$-\mu \Delta u + \nabla p = f \\ \nabla \cdot u = 0$

min_{u} \frac{μ}{2} ‖ \nabla u ‖^{2} - (f, u) so that \nabla \cdot u = 0.

$\min_u \frac\mu 2 \|\nabla u\|^2 - (f,u) \\ \text{so that} \; \nabla\cdot u = 0.$

Ta równoważność problemów nie jest wykorzystywana w żadnym schemacie numerycznym (o którym wiem), ale jest ważnym narzędziem w analizie, ponieważ pokazuje, że równania Stokesa są zasadniczo równaniem Poissona w liniowej podprzestrzeni. To samo dotyczy zależnych od czasu równań Stokesa (które odpowiadają równaniu ciepła w podprzestrzeni) i można je rozszerzyć na równania Naviera-Stokesa.

— Wolfgang Bangerth
źródło

Dzięki za świetną odpowiedź. Czy wiesz, czy ten preparat można rozszerzyć na przypadek zależny od czasu?

— Ben

Tak, jak mówię, prowadzi to do równania cieplnego w podprzestrzeni funkcji wolnych od dywergencji.

— Wolfgang Bangerth

Przepraszam, powinienem był być jaśniejszy. Czy istnieje sposób na przekształcenie zależnych od czasu równań Stokesa (lub Naviera-Stokesa) jako problem optymalizacji, być może funkcjonalnej zintegrowanej w czasie?

— Ben

Nie jako problem optymalizacji - rozwiązanie równania cieplnego niczego nie minimalizuje (choć jest to stacjonarny punkt funkcji Lagrangian). Ale możesz sformułować równania Stokesa w następujący sposób: Znajdź , aby dla wszystkich zastrzeżeniem ograniczenia, że . Zauważ, że wybrałem przestrzeń testową mniejszą niż przestrzeń próbna, więc lewa i prawa strona równania wariacyjnego nie będą równe. Różnica polega na ciśnieniu.

u \in H_{div}

$u \in H_\text{div}$

(u_{t}, φ) + (\nabla u, \nabla φ) = (f, φ)

$(u_t,\varphi)+(\nabla u,\nabla\varphi)=(f,\varphi)$

φ \in {v \in H_{div} : \nabla \cdot v = 0}

$\varphi\in \{v\in H_\text{div}: \nabla \cdot v = 0\}$

\nabla \cdot u = 0

$\nabla \cdot u = 0$

— Wolfgang Bangerth