Dlaczego trudno jest liczbowo rozwiązać wieloelektronowe zależne od czasu równanie Schrödingera

Wydaje się, że ludzie zwykle używają aproksymacji pojedynczego aktywnego elektronu (SAE) w celu rozwiązania układu wieloelektronowego, przekształcając problem w problem z pojedynczym elektronem. Na przykład, rozwiązując liczbowo problem interakcji atomu helu z polami laserowymi, ludzie zwykle w przybliżeniu uwzględniają efekt elektron-elektron za pomocą pseudo-potencjału i zasadniczo rozwiązują problem jednego elektronu. Dlaczego więc trudno jest nawet rozwiązać liczbowo zależne od czasu wieloelektronowe równanie Schrödingera? Czy jest to o wiele trudniejsze niż klasyczny problem n-ciała? Widziałem, że istnieje ogromny problem klasycznego ciała rozwiązany numerycznie w astronomii nawet w czasie rzeczywistym, na przykład tutaj symuluje w czasie rzeczywistym zderzenie dwóch galaktyk z udziałem 280000 cząstek. $n$

pde quantum-mechanics

— xslittlegrass
źródło

Oprócz trudności istnieje także narzędzie, które napędza innowacje. Problemy astrofizyczne ciała wymagają ewolucji czasu. Z drugiej strony wiele można zrobić z atomem wieloelektronowym, który ma niewielką lub żadną zależność od czasu, np. Znajdowanie poziomów energii. Innymi słowy, istnieje więcej zastosowań dotyczących stanów ustalonych dla atomów niż dla zderzających się galaktyk.

n

$n$

Może, ale myślę, że to poza tym. Nawet stacjonarne obliczenia kwantowe są znacznie droższe. Ale nawet wtedy obliczenia kwantowe zależne od czasu są bardzo istotne - są po prostu zbyt drogie w prawie wszystkich praktycznych przypadkach, a to wyjaśnia, dlaczego nie było to zrobione w przeszłości.

— Wolfgang Bangerth,

Tak, jest to o wiele trudniejsze. W przypadku problemu z ciałem wystarczy obliczyć trajektorie które są tylko funkcjami jednej zmiennej. $N$ $\mathbf x_i(t), i=1\ldots N$ $N$

Z drugiej strony, nawet dla pojedynczego elektronu, rozwiązaniem równania Schroedingera jest funkcja , tj. Funkcja czterech zmiennych. Dla dwóch elektronów szukasz funkcji opisującej funkcję falową jako funkcję lokalizacji dwóch elektronów plus czas. To siedem zmiennych. $\Psi(x,y,z,t)$ $\Psi(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_3,t)$

Teraz, jeśli pamiętasz, jak rozwiązać zwykłe równania różniczkowe, takie jak równania Newtona dla problemu z ciałem , musisz przesunąć każde równanie do przodu, przechodząc od czasu do i tam obliczyć rozwiązanie. Tak więc, jeśli podzielisz swój przedział czasu na przedziałów długości wówczas wysiłkiem dla każdego kroku będzie przy użyciu naiwnej implementacji interakcji ciał (ty może korzystać z metod, aby osiągnąć wysiłek , ale to nie wszystko. $N$ $t$ $t+\Delta t$ $[0,T]$ $M$ $\Delta t=T/M$ $N^2M$ $N$ $N (\log N) M$

Z drugiej strony, aby znaleźć funkcję 7 zmiennych, załóż, że dzielisz przedział czasu na podinterwale, jak wyżej, ale robisz to samo dla 6 współrzędnych przestrzennych. Następnie należy wziąć pod uwagę łącznie punktów siatki. Ogólnie rzecz biorąc, dla układu kwantowego dla ciała masz . $M$ $M^7$ $N$ $M^{3N+1}$

Łatwo jest teraz zweryfikować, że nawet dla raczej niewielkich liczb wysiłek jest znacznie większy niż , co wyjaśnia, dlaczego obliczenia kwantowe dla wielu ciał są tak znacznie droższe niż ciało Mechanika klasyczna. $N,M$ $M^{3N+1}$ $N^2M$ $N$

— Wolfgang Bangerth
źródło

Świetna odpowiedź. Chciałbym tylko wspomnieć, że podobnie jak istnieją szybsze metody niż naiwne dla równań Newtona, istnieją również szybsze metody niż naiwne dla równania Schrödingera.

N^{2} M

$N^2 M$

M^{3 N + 1}

$M^{3N+1}$

— Ondřej Čertík

W rzeczy samej. Ogólnie jednak nie można pozbyć się złożoności kombinatorycznej.

— Wolfgang Bangerth