wyprodukowane rozwiązania dla nieściśliwych Navier-Stokesa - jak znaleźć wolne od dywergencji pola prędkości?

10

W metodzie wytwarzanych rozwiązań (MMS) postuluje się dokładne rozwiązanie, zastępuje je w równaniach i oblicza odpowiedni termin źródłowy. Rozwiązanie służy następnie do weryfikacji kodu.

W przypadku nieściśliwych równań Naviera-Stokesa MMS łatwo prowadzi do (niezerowego) terminu źródłowego w równaniu ciągłości. Ale nie wszystkie kody dopuszczają terminy źródłowe w równaniach ciągłości, więc w przypadku tych kodów wystarczą tylko wyprodukowane rozwiązania z polami prędkości pozbawionymi rozbieżności. Znalazłem ten przykład dla domeny W ogólnych przypadkach 3D, w jaki sposób wytwarza się pole prędkości pozbawione rozbieżności? $\Omega=[0,1]^2$

\begin{aligned} u_{1} & = - \cos (π x) \sin (π y) \\ u_{2} & = \sin (π x) \cos (π y) \end{aligned}

$\begin{align} u_1 &= -\cos(\pi x) \sin(\pi y) \\ u_2 &= \sin(\pi x) \cos(\pi y) \end{align}$

navier-stokes incompressible verification

— Chris
źródło

7

Użyj funkcji strumienia wektorowego lub weź iloczyn krzyżowy dwóch gradientów. To znaczy:

u = \nabla \times A

$\boldsymbol{u}=\nabla\times\boldsymbol{A}$ gdzie

A

$\boldsymbol{A}$ to wybrane przez ciebie pole wektorowe, lub

u = \nabla f \times \nabla g

$\boldsymbol{u}=\nabla f\times\nabla g$ gdzie

f

$f$ i

g

$g$ to dwa wybrane przez ciebie pola skalarne.

Trudno jest, aby obie prędkości były wolne od rozbieżności i określały warunki brzegowe, ale tak długo, jak długo twój kod pozwala ci ustawić dowolne funkcje dla twoich warunków brzegowych, powinieneś być OK.

ETA: Oczywiście twoje równanie pędu będzie musiało zaakceptować funkcję wymuszającą, ale zawsze czułem się lepiej wymuszając równanie pędu, niż dodając prawą stronę do równania ciągłości.

— Bill Barth
źródło

Dzięki! (wymuszanie równania ciągłości występuje tylko w modelowaniu kawitacji, o ile mi wiadomo)

— Chris

5

To nie jest ogólna odpowiedź, ale dla równań Naviera-Stokesa istnieją gotowe rozwiązania opisujące rzeczywisty przepływ. Na przykład pole przepływu Kovasznay jest popularnym wyborem:

http://link.springer.com/article/10.1007/BF00948290

Oryginalne odniesienie to: Kovasznay LIG, „Przepływ laminarny za dwuwymiarową siatką”. Proc. Cambridge Philos. Soc., Str. 44, 1948.

— Wolfgang Bangerth
źródło

1948 (!) Nie zdawałem sobie sprawy, że to „prawdziwy przepływ”. Rozumiesz przez to, że można go zmierzyć w eksperymencie fizycznym (w przeciwieństwie do eksperymentu numerycznego)?

— Chris

Tak mi się wydaje.

— Wolfgang Bangerth

Nie. Jest to wyidealizowany przepływ w pewnej odległości za siatką. Ale nikt nie wie, jak wygląda siatka i najprawdopodobniej musi być wykonana z „bardzo miękkiego” materiału

— Guido Kanschat

2

Tak zwykle robię.

Zdefiniuj funkcję usprawnienia:

Ψ = [\begin{matrix} ψ_{x} \\ ψ_{y} \\ ψ_{z} \end{matrix}]

$\Psi = \left[ \begin{array}{c} \psi_x\\ \psi_y\\ \psi_z\\ \end{array} \right]$

prędkość jest równa:

u = \nabla \times Ψ = [\begin{matrix} u_{x} = \partial_{y} ψ_{z} - \partial_{z} ψ_{y} \\ u_{y} = \partial_{z} ψ_{x} - \partial_{x} ψ_{z} \\ u_{z} = \partial_{x} ψ_{y} - \partial_{y} ψ_{x} \end{matrix}] .

$\mathbf{u} = \nabla\times\Psi = \left[ \begin{array}{c} u_x =\partial_y \psi_z - \partial_z \psi_y\\ u_y =\partial_z \psi_x - \partial_x \psi_z\\ u_z =\partial_x \psi_y - \partial_y \psi_x\\ \end{array} \right].$

Teraz możesz wybrać dowolną rozsądną presję uśrednioną na zero i skonstruować termin wymuszający.

Zamieszczam przykładowy kod SymPy dla i jednorodnych warunków brzegowych, cieszę się: $\Omega = [0,1]^3$

 from sympy import *

 x,y,z = symbols('x y z')

 X = Matrix([[x],[y],[z]])

 psi = zeros(3,1)
 psi[0,0] = sin(2*pi*x)*y**2*(1-y)**2*z**2*(1-z)**2
 psi[2,0] = x**2*(1-x)**2*y**2*(1-y)**2*sin(2*pi*z)

 curl_psi = zeros(3,1)
 curl_psi[0] = diff(psi[2],X[1]) - diff(psi[1],X[2])
 curl_psi[1] = diff(psi[0],X[2]) - diff(psi[2],X[0])
 curl_psi[2] = diff(psi[1],X[0]) - diff(psi[0],X[1])

— Nicola Cavallini
źródło