Kiedy używamy wielomianów Bernsteina w aplikacji

Gdy preferowane jest użycie wielomianów Bernsteina do przybliżenia funkcji ciągłej zamiast stosowania tylko następujących wstępnych metod analizy numerycznej: „Wielomiany Lagrange'a”, „Proste operatory różnic skończonych”.

Pytanie dotyczy porównania tych metod.

Zarówno wielomiany Bernsteina, jak i wielomiany Lagrange'a obejmują te same przestrzenie. Zatem pod względem możliwych funkcji, które można reprezentować, użycie jednej lub drugiej nie ma znaczenia. Jeśli jednak zastanawiasz się nad wykorzystaniem ich jako funkcji bazowych w metodzie elementu skończonego lub w problemie interpolacji, właściwości spektralne tworzonego operatora liniowego będą zależeć od wielomianów wybranych jako podstawa. Może to powodować różnice w zbieżności iteracyjnych solverów. Jednak w przypadku braku błędu algebry liniowej otrzymasz tę samą odpowiedź przy użyciu dowolnej podstawy.

Porównywanie tego do operatorów różnic skończonych to inna historia. Używanie wielomianów da przybliżenia błędów dla ciągłej normy. Nie znam się tak dobrze na różnicach skończonych, ale rozumiem, że oszacowanie błędu będzie możliwe tylko w lokalizacjach, które zdecydujesz się zdyskretować. To, co dzieje się pomiędzy tymi punktami, nie jest tak jasne.

Korzystam z wielomianów Bernsteina w metodzie kolokacji, aby rozwiązać problemy z wartościami granicznymi dla ODE i PDE. Są dość interesujące.

Konwergencja była wykładnicza dla niektórych liniowych BVP, ale niewiele wolniejsza w porównaniu do kolokacji Czebyszewa, Legendre Galerkin i Tau.

Oto liczba porównująca współczynniki zbieżności z niektórymi metodami spektralnymi Czebyszewa. Przykładowym problemem jest liniowy BVP:

$\frac{d^2u}{dx^2}-4\frac{du}{dx}+4u = e^x +C \;,\; x \in [-1,1]$

z jednorodnymi BC Dirichleta, a C jest stałą $C=-4e/(1+e)^2$.

Przesłałem również tę figurę do figshare .

Jeśli chcesz, możesz sprawdzić kod, który piszę:

http://code.google.com/p/bernstein-poly/

A oto artykuł Arxiv, który napisałem o rozwiązywaniu eliptycznych BVP na kwadracie za pomocą wielomianowej kolokacji Bernsteina.

W ubiegłym roku obchodzili setną rocznicę wielomianów Bernsteina - jeszcze jeden interesujący fakt.

Poniższy artykuł pokazuje, że reprezentacja wielomianów w postaci Bernsteina prowadzi w wielu przypadkach do algorytmów stabilnych numerycznie:

RT Farouki, VT Rajan, O stanie liczbowym wielomianów w formie Bernsteina, Computer Aided Geometric Design , Tom 4, Issue 3, November 1987, Pages 191-216, DOI: 10.1016 / 0167-8396 (87) 90012-4

Punkty kontrolne krzywej Béziera znajdują się blisko krzywej, ale niekoniecznie na krzywej. Jest to dokładnie taka sama sytuacja, jak w przypadku przybliżenia wielomianów Bernsteina, a w rzeczywistości wielomian Bernsteina stanowi podstawę krzywej Béziera. Możesz użyć krzywej Béziera wysokiego rzędu, aby narysować gładką linię przez krzywą wyznaczoną przez hałaśliwe punkty, również nikt nie zrobiłby tego z powodu dużego wysiłku obliczeniowego. W rzeczywistości z tego właśnie powodu interpolacja wielomianowa wysokiego rzędu jest rzadko stosowana, tylko interpolacja Czebyszewa jest czasami wyjątkiem od tej reguły.

Ale jeśli mówimy tylko o interpolacji wielomianowej niskiego rzędu, to intuicyjna specyfikacja krzywej Béziera za pomocą punktów kontrolnych stanowi wyraźną przewagę nad innymi metodami. Jednak pod tym względem NURBS są jeszcze lepsze, ale przynajmniej krzywa Béziera jest szczególnym przypadkiem NURBS, a wielomian Bernsteina jest również ważnym składnikiem NURBS.