Alternatywy dla analizy stabilności von Neumanna dla metod różnic skończonych

13

Pracuję nad rozwiązaniem sprzężonych jednowymiarowych równań poroelastyczności (model Biota ), podanych jako:

- (λ + 2 μ) \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0

$-(\lambda+ 2\mu) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0$

w dziedzinie

i z warunkami brzegowymi:

\frac{\partial}{\partial t} [γ p + \frac{\partial u}{\partial x}] - \frac{κ}{η} [\frac{\partial^{2} p}{\partial x^{2}}] = q (x, t)

$\frac{\partial}{\partial t} \left[ \gamma p + \frac{\partial u}{\partial x}\right] -\frac{\kappa}{\eta}\left[\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}\right] =q(x,t)$

Ω = (0, 1)

$\Omega=(0,1)$

ui $p=0, (\lambda + 2\mu)\frac{\partial u}{\partial x}=-u_0$ $x=0$ przy. $u=0, \frac{\partial p}{\partial x} = 0$ $x=1$

Zdyskretowałem te równania, stosując scentralizowany schemat różnic skończonych:

(λ + 2 μ) \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - 2 u_{i}^{t + 1} + u_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}} + \frac{p_{i + 1}^{t + 1} - p_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x} = 0

$(\lambda + 2\mu)\frac{u^{t+1}_{i+1}-2u^{t+1}_i+u^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2} + \frac{p^{t+1}_{i+1}-p^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x} = 0$

γ \frac{p_{i}^{t + 1} - p_{i}^{t}}{Δ t} + \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - u_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x Δ t} - [\frac{u_{i + 1}^{t} - u_{i - 1}^{t}}{2 Δ x Δ t}] - \frac{κ}{η} [\frac{p_{i + 1}^{t + 1} - 2 p_{i}^{t + 1} + p_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}}] = q_{i}^{t + 1}

$\gamma \frac{p^{t+1}_i-p^t_i}{\Delta t} + \frac{u^{t+1}_{i+1}-u^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x \Delta t} -\left[ \frac{u^t_{i+1}-u^t_{i-1}}{2\Delta x \Delta t}\right] - \frac{\kappa}{\eta}\left[ \frac{p^{t+1}_{i+1} -2p^{t+1}_i + p^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2}\right]=q^{t+1}_i$

Obecnie pracuję nad szczegółami konwergencji programu, analizując jego spójność i stabilność. Część dotycząca spójności wydaje mi się dość prosta, ale już przewiduję pewne trudności z analizą stabilności. Przede wszystkim istnieją dwie zmienne i dwa równania. Po drugie, w drugim równaniu występuje również mieszany wyraz pochodnej czasoprzestrzennej. Znam analizę stabilności von Neumanna i widzę, że ustalenie stabilności za pomocą tej metody będzie bardzo trudne. Czy mogę zastosować jakieś alternatywy dla analizy von neumanna?

— Paweł
źródło

1

t

$t$

x

$x$

u

$u$

p

$p$

u

$u$

To ten sam problem, niezależnie od tego, czy piszesz go jako systemowy, czy skalarny PDE.

— David Ketcheson

7

$\frac{\partial u}{\partial x}$ $u_x$

[\begin{matrix} 0 & 0 \\ I & I \end{matrix}] \frac{d}{d t} [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ u_{x, h} (t) \end{matrix}] + [\begin{matrix} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ - Δ_{h} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ u_{x, h} (t) \end{matrix}] = [\begin{matrix} q_{h} (t) \\ 0 \end{matrix}] (*)

$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ I & I \end{bmatrix} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ -\Delta_h & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} q_h(t) \\ 0 \end{bmatrix} \quad (*)$

1

$1$

_{h}

${}_h$

\frac{d}{d t}

$\frac{d}{dt}$

Teraz struktura różnicowo-algebraiczna (DAE) jest widoczna. Dla zmiennych istnieją zarówno równania różniczkowe (w czasie), jak i algebraiczne.

$\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ I & I \end{bmatrix}$

Przy takim podejściu możesz obejść analizę stabilności.

$L^2$ $(*)$ $\Delta_h$ $\partial_h$

$(*)$ $u\leftarrow u_x$

DODATEK: Mówi się, że DAE ma indeks 1, jeśli można go przekształcić w ODE bez różnicowania równań.

[\begin{matrix} E_{1} \\ 0 \end{matrix}] \dot{y} + [\begin{matrix} A_{1} \\ A_{2} \end{matrix}] y = f .

$\begin{bmatrix} E_1 \\ 0 \end{bmatrix}\dot y + \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \end{bmatrix} y = f.$

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix}$

\tilde{y} \to y

$\tilde y \to y$

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}] \to [\begin{matrix} {\tilde{E}}_{11} & {\tilde{E}}_{12} \\ {\tilde{A}}_{21} & {\tilde{A}}_{22} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \tilde E_{11} & \tilde E_{12} \\ \tilde A_{21} & \tilde A_{22} \end{bmatrix}$

{\tilde{A}}_{22}

$\tilde A_{22}$

A_{2}

$A_2$

{\tilde{A}}_{11} - {\tilde{E}}_{12} {\tilde{A}}_{22}^{- 1} {\tilde{A}}_{21}

$\tilde A_{11} - \tilde E_{12} \tilde A_{22}^{-1} \tilde A_{21}$

$(*)$ $A_2:=[-\partial_h ~ \partial_h]$ $\tilde y_2$ $(p_h,u_{x,h})$ $\frac{d}{dt}\tilde y_2$ $(*)$

— Jan
źródło

[\begin{array}{cc} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ I & I \end{array}]

$\left[\begin{array}{cc}-\partial_h &\partial_h\\ I & I \end{array}\right]$

@Paul nie znalazłem twierdzenie odsyłającym, więc będę wstawiać argumenty na moją odpowiedź ...

— sty

4

Nie znam podanych tu równań, ale pamiętam naukę innej metody sprawdzania stabilności schematu numerycznego w moich zajęciach. Jest znany jako analiza równań zmodyfikowanych.

Oto dobre odniesienie do tego,

http://193.146.160.29/gtb/sod/usu/$UBUG/repositorio/10291890_Warming.pdf

W powyższym odnośniku ustalono związek między teorią stabilności opartą na analizie zmodyfikowanego równania a analizą stabilności von Neumanna.

Po kilku wyszukiwaniach online natrafiłem na następujące referencje,

W artykule omówiono modelowanie różnic skończonych równań poroelastycznych Biota przy częstotliwościach sejsmicznych. Zawiera także sekcję dotyczącą stabilności schematu numerycznego.

W artykule przedstawiono strategię rozwiązania odsprzęgania sprzężonego układu i sprawdzania stabilności schematu numerycznego.

— Subodh
źródło

Nie wykonałem zmodyfikowanej analizy równań na powyższych równaniach, ale ponieważ pytanie dotyczyło alternatyw dla analizy von Neumanna, napisałem powyższą odpowiedź. Jest całkiem możliwe, że nie odpowiada na pytanie. Ale ktoś może uznać wymienione odniesienia za przydatne w jego pracy.

— Subodh

Dziękuję za referencje! Widzę, że forma potrzebna w twoim artykule na temat analizy zmodyfikowanych równań nie pasuje do równań, których używam, ale bardzo intrygujące jest poznanie nowych technik analizy!

— Paweł