Wielomiany, które są prostopadłe do krzywych w płaszczyźnie złożonej

Różne ważne zestawy wielomianów (Legendre, Chebyshev itp.) Są ortogonalne w pewnym rzeczywistym przedziale czasowym z pewną wagą. Czy znane są rodziny wielomianów, które są ortogonalne względem innych krzywych w płaszczyźnie złożonej?

Na przykład chciałbym podstawę dla wielomianów stopnia n, które są ortogonalne nad, powiedzmy, okręgiem

- 1 + \exp (i t)

$-1 + \exp(it)$

dla . $0\le t< 2\pi$

Powodem, dla którego tutaj to publikuję, jest to, że mam problem numeryczny dotyczący macierzy wartości wielomianowych nad punktami w płaszczyźnie złożonej. Stosując podstawę monomialną, staje się ona bardzo słabo uwarunkowana dla większości zestawów punktów. Chciałbym użyć innej podstawy do poprawy kondycjonowania, ale nie jest jasne, że użycie, powiedzmy, wielomianów Legendre'a lub Czebyszewa poprawi kondycjonowanie dla ogólnych krzywych w płaszczyźnie złożonej.

basis-set special-functions

— David Ketcheson
źródło

Myślę, że twoja edycja sprawiła, że prawie cała moja odpowiedź była nieistotna: - P To jednak lepsze pytanie.

— David Z

Podejrzewam, że istnieje odpowiednia modyfikacja algorytmu Czebyszewa do generowania współczynników rekurencji. W twoim pytaniu matematycznym wspomniałem o Szegő.

— JM

Dzięki! Tak, odpowiedź na to pytanie była bardzo dobra w matematyce.SE, gdzie prawdopodobnie powinnam była najpierw zadać.

— David Ketcheson

Udzieliłem odpowiedzi @ math.SE.

— J. M.
źródło