Dlaczego wymiar czasu jest wyjątkowy?

24

Ogólnie rzecz biorąc, słyszałem, że analitycy numeryczni wypowiadają się na ten temat

„Oczywiście z matematycznego punktu widzenia czas jest tylko innym wymiarem, ale czas jest wyjątkowy”

Jak to uzasadnić? W jakim sensie czas jest szczególny dla nauk obliczeniowych?

Co więcej, dlaczego tak często wolimy używać różnic skończonych (prowadzących do „krokowania w czasie”) dla wymiaru czasu, podczas gdy stosujemy różnice skończone, elementy skończone, metody spektralne ... dla wymiarów przestrzennych? Jednym z możliwych powodów jest tendencja do posiadania IVP w wymiarze czasowym i BVP w wymiarze przestrzennym. Ale nie sądzę, żeby to w pełni to uzasadnia.

pde discretization

— Patrick
źródło

23

Przyczynowość wskazuje, że informacja płynie tylko do przodu w czasie, a algorytmy powinny być zaprojektowane w celu wykorzystania tego faktu. Robią to schematy krokowe, podczas gdy globalne metody spektralne lub inne pomysły tego nie robią. Pytanie oczywiście brzmi, dlaczego wszyscy nalegają na wykorzystanie tego faktu - ale łatwo to zrozumieć: jeśli twój problem przestrzenny ma już milion niewiadomych i musisz zrobić 1000 kroków czasowych, to na typowej maszynie masz dzisiaj wystarczające zasoby do rozwiązania problem przestrzenny sam w sobie jeden krok po drugim, ale nie masz wystarczających zasobów, aby poradzić sobie z połączonym problemem $10^9$ niewiadomych.

Sytuacja nie różni się zbytnio od tego, co masz z przestrzennymi dyskretyzacjami zjawisk transportowych. Jasne, możesz zdyskretować równanie doradcze 1d, stosując globalnie powiązane podejście. Ale jeśli zależy Ci na wydajności, zdecydowanie najlepszym podejściem jest użycie dalszego przepływu, który przenosi informacje z dopływu do odpływowej części domeny. To jest dokładnie to, co robią schematy krokowe w czasie.

— Wolfgang Bangerth
źródło

To dobry punkt ... pamięć jest zdecydowanie głównym ograniczeniem! :)

— Paweł

Zdecydowanie rozumiem, że przyczynowość przychodzi naturalnie ze skończonymi różnicami, ale nie z „globalnym sprzężeniem”. I odwrotnie, „metody strzelania” do rozwiązywania BVP działają odwrotnie. Wprowadza niechcianą przyczynowość. Analitycznie rzecz biorąc, dla niektórych równań (np. PDE hiperboliczne drugiego rzędu) niezbędna jest przyczynowość dla wyjątkowości. Jednak w niektórych przypadkach tak nie jest i sądzę, że równie dobrze można z czasem wykonać metody spektralne. Jak mówisz, myślę, że zmniejszenie rozmiaru systemu jest również duże. I bardziej sensowne jest wykonywanie FD w czasie niż w jakimkolwiek dowolnym wymiarze przestrzennym.

— Patrick

8

Podobnie do związku przyczynowego Wolfganga wspomnianego w jego poście, mogliśmy zobaczyć powód, dla którego wymiar czasu jest wyjątkowy z punktu widzenia czasoprzestrzeni Minkowskiego: $\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

-wymiarowej czasoprzestrzeni produkt ma wewnętrzną zdefiniowaną jako $(3+1)$ jeśliisą dwiema 1-formami w czasoprzestrzeni Minkowskiego: ,

(ZA, b) = {ZA}_{x} b_{x} + {ZA}_{y} b_{y} + {ZA}_{z} b_{z} - \frac{1}{{do}^{2)}} {ZA}_{t} b_{t}

$(A,B) = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z - \dfrac{1}{c^2}A_t B_t$

A

$A$

B

$B$

A = A_{x} d x + A_{y} d y + A_{z} d z + A_{t} d t

$A = A_x \rd x + A_y \rd y + A_z \rd z + A_t \rd t$

B

$B$ jest zdefiniowany w podobny sposób, intuicja definiowania produktu wewnętrznego (a raczej metryki) polega na narzuceniu idei absolutnej prędkości światła, tak że dwa różne punkty (zdarzenia) w czasoprzestrzeni mają zerową odległość (dzieje się to na „w tym samym czasie”, tak jak obserwujemy ruch galaktyk w odległości miliardów lat świetlnych, jakby poruszały się teraz), jeśli znajdują się na tym samym stożku światła.

$c$ $(3+1)$

Być może nie na temat, ale inną istotną różnicą między przestrzenią a czasoprzestrzenią (eliptyczna vs. hiperboliczna) jest to, że większość równań eliptycznych modeluje równowagę, a eliptyczność zapewnia nam „ładną” regularność, podczas gdy występują wszelkiego rodzaju nieciągłości w problemach hiperbolicznych (szok, rozrzedzenie, itp).

EDYCJA: Nie wiem, że istnieje dedykowany artykuł na temat różnicy poza podaniem definicji opartej na tym, czego się nauczyłem wcześniej, typowym równaniem eliptycznym, takim jak równanie Poissona lub elastyczność, modeluje zjawisko statyczne, ma „gładkie” rozwiązanie, jeśli dane i granica obszaru zainteresowania jest „gładka”, wynika to z eliptyczności (a raczej pozytywnej określonej własności) rządzącego operatora różniczkowego, ten typ równań prowadzi nas do bardzo intuicyjnego podejścia typu Galerkina (pomnożenie funkcji testowej i całkowanie przez części), typowy ciągły element skończony działa dobrze. Podobne rzeczy dotyczą równania parabolicznego, jak równanie ciepła, które jest zasadniczo równaniem eliptycznym maszerującym w czasie, ma podobną właściwość „wygładzania”, początkowy ostry róg zostanie z czasem wygładzony,

Problem hiperboliczny, zwykle wywodzący się z prawa zachowania, jest „konserwatywny” lub „dyspersyjny”. Na przykład równanie doradztwa liniowego, opisujące pewne przepływy ilościowe z polem wektorowym, zachowuje, jak ta konkretna wielkość jest początkowo, po prostu porusza się przestrzennie wzdłuż tego pola wektorowego, nieciągłości będą się rozprzestrzeniać. Równanie Schrodingera, inne równanie hiperboliczne, jest jednak dyspersyjne, jest to propagacja złożonej wielkości, niescylacyjny stan początkowy z czasem stanie się różnymi pakietami fal oscylacyjnych.

Jak wspomniałeś o „skokach czasowych”, możesz pomyśleć, że ilość „płynie” w „polach” czasu z pewną prędkością jako przyczynowość, bardzo podobna do równania doradztwa liniowego BVP, musimy jedynie narzucić warunek brzegowy dopływu, tj. jaka jest ilość, gdy wpływa do interesującej nas dziedziny, a rozwiązanie powiedziałoby nam, jaka jest ilość, gdy wypływa, pomysł bardzo podobny do każdej metody wykorzystującej przeskok czasu. Rozwiązanie równania doradczego 2D w przestrzeni jest jak rozwiązanie jednostronnego problemu propagacji 1D w czasoprzestrzeni. W przypadku schematów numerycznych możesz znaleźć w Google informacje o MES czasoprzestrzeni.

— Shuhao Cao
źródło

Muszę powiedzieć, że większość tego, co mówisz, jest ponad moją głową. Ale ostatni akapit był bardzo interesujący i zdecydowanie daje wgląd. Czy masz link do (czasoprzestrzeń) vs (eliptyczny i hiperboliczny)?

— Patrick

@Patrick Dzięki za zainteresowanie, edytowałem więcej w mojej odpowiedzi.

— Shuhao Cao,

6

Chociaż istnieją pewne wyjątki (np. W pełni dyskretne metody elementów skończonych), dyskretyzacja czasowa zasadniczo implikuje z natury sekwencyjną zależność w przepływie informacji. Zależność ta ogranicza półdyskretne algorytmy (BVP w przestrzeni, IVP w czasie) do obliczania rozwiązań podproblemów w sposób sekwencyjny. Ta dyskretyzacja jest zwykle preferowana ze względu na jej prostotę i ponieważ oferuje analitykowi wiele dobrze rozwiniętych algorytmów zapewniających większą dokładność zarówno w czasie, jak i przestrzeni.

Możliwe jest (i prościej) zastosowanie również różnic skończonych w wymiarach przestrzennych, ale metody elementów skończonych oferują łatwiejszą elastyczność w zakresie zainteresowań (np. Kształty nieregularne) niż metody różnic skończonych. „Dobry” wybór dyskretyzacji przestrzennej jest często bardzo zależny od problemu.

— Paweł
źródło