Algebraiczna multigrid: Dlaczego iloczyn interpolacji i ograniczenia nie prowadzi do czegoś z normą 1?

Obecnie pracuję z „A Multigrid Tutorial” Briggsa i in., Rozdział 8.

Konstrukcja operatora interpolacji jest podana jako:

Następnie konstrukcję operatora ograniczenia i operatora drobnej sieci podano jako:

Załóżmy, że mamy trzy punkty siatki x0, x1, x2 ze środkowym jeden x1 jest w porządku, a pozostałe są gruboziarniste. Środkowy jest interpolowany przez x1 = x0*w0 + x2*w2. Dlatego operatorem interpolacji jest (w Matlab):

I = [1, 0, 0; w0, 0, w2; 0, 0, 1]

I =

[  1, 0,  0]
[ w0, 0, w2]
[  0, 0,  1]

Operatorem ograniczenia jest wówczas:

transpose(I)

ans =

[ 1, w0, 0]
[ 0,  0, 0]
[ 0, w2, 1]

Zobaczmy teraz, co by się stało, gdyby ograniczyć, a następnie interpolować bezpośrednio, co powoduje pomnożenie Ii transpose(I):

I*transpose(I)

ans =

[  1,          w0,  0]
[ w0, w0^2 + w2^2, w2]
[  0,          w2,  1]

Spodziewałbym się, że ta matryca jest jak matryca tożsamości lub przynajmniej miałaby normę 1 lub coś takiego. Ale jeśli zastosowalibyśmy x = [1, 1, 1] dla powiedzmy, że w0 = w2 = 0,5, otrzymalibyśmy [1,5 1,5 1,5]. Zakładałbym, że wielokrotnie stosowane operacje interpolacji restrykcyjnej przynajmniej by się do czegoś zbliżyły. Ale nie, w takim przypadku wszystkie komponenty wektorowe są mnożone przez 1,5 przy każdej interpolacji ograniczenia. To wydaje mi się bardzo dziwne.

Czy ktoś może wyjaśnić, co się dzieje?

$x$

$I^TI$

$E$$EI$$EI$$(EI)(EI)=EI$