Czy zwykle w Multigrid nie ma sprawdzania zbieżności?

Właśnie przeczytałem rozdział 3 w „A Multigrid Tutorial” Briggsa / Hensona / McCormicka, link .

Tekst dotyczy cykli wielosieciowych, takich jak cykl V, cykl mu, FMG. Co przykuło moją uwagę: w większości procedur iteracyjnych sprawdza się, czy osiągnął pożądaną tolerancję / dokładność, a jeśli tak, to procedura się kończy. Ale Briggs / Henson / McCormick nie używają żadnego sprawdzania zbieżności w przedstawionych schematach. Liczba iteracji i rekurencji jest po prostu zakodowana na stałe i należy ufać, że schemat się zbiegnie.

Jak to się zwykle robi w Multigrid? Czy zwykle liczba iteracji / rekurencji jest po prostu zakodowana? Naprawdę obawiam się, że albo zmarnuję dużo czasu na obliczenia, ponieważ jestem zbyt precyzyjny, az drugiej strony dokładność będzie niska w wielu przypadkach, gdy wybiorę mniejszą liczbę iteracji / rekurencji.

Tak, normalne jest, że nie ma kontroli zbieżności w MG z kilku powodów. Po pierwsze, jeśli użyjesz innej liczby iteracji przy każdym przejściu, operator MG nie będzie już liniowy i będziesz musiał użyć czegoś takiego jak FGMRES jako akcelerator, który może pomieścić nieliniowy warunek wstępny. Po drugie, FMG to dokładny solver (zmniejsza błąd poniżej błędu dyskretyzacji), gdy działa, więc sprawdzenie zbieżności wprowadza kosztowną synchronizację do algorytmu. Zazwyczaj sprawdzasz na końcu tylko po to, by zweryfikować zbieżność.

Absolutnie nie. Aby wybrać jeden przykład, książka Multigrid ma wykres na stronie 53 (rysunek 2.10), który pokazuje spadek wartości rezydualnej w funkcji liczby cykli V lub W. Zatrzymałbyś jazdę na rowerze, gdy jesteś zadowolony z wielkości pozostałości.

Przyczyną twojego zamieszania może być to, że niektóre opisy opisują tylko pojedynczy cykl V. W niektórych ograniczonych przypadkach, ponieważ multigrid jest tak potężną techniką, może to wygenerować odpowiednie rozwiązanie. Również multigrid może być użyty jako warunek wstępny . W takim przypadku multigrid jest tylko akceleratorem, a kontrola zbieżności odbywa się na wyższym poziomie. Ale kontrola zawsze powinna się gdzieś zdarzyć.

W Multigrid używanym jako solver , jako kryterium zatrzymania stosuje się zwykle względną normę wartości rezydualnej. Gdy zmniejszysz ten współczynnik - dokładność rozwiązania powinna wzrosnąć. Ponadto na najgrubszym poziomie badacze robią różne rzeczy:

1. albo rozwiąż za pomocą solwera bezpośredniego (bez zbieżności)
2. używaj stałych iteracji (bez zbieżności)
3. użyj kolejnej różnicy między iteracjami jako kryterium konwergencji (niezbyt dobra metoda, ponieważ możesz być daleko od rozwiązania)
4. Ponownie zastosuj względną normę resztkową jako kryterium zatrzymania.

Metoda 2 wymieniona powyżej na najgrubszym poziomie jest dobra, gdy Multigrid jest używany jako kondycjoner wstępny (eksperci od Multigrid tutaj mogą komentować - jestem początkujący).

Tak więc ogólnie stosowana jest konwergencja .