Multigrid na siatce „nie idealnie prostokątnej”

Wprowadzenia wielosiatkowe zwykle używają prostokątnej siatki. Interpolacja wartości jest wówczas prosta: wystarczy interpolować liniowo na krawędzi między dwoma sąsiednimi węzłami grubej siatki, aby znaleźć wartość cienkiego węzła siatki na tej krawędzi.

Dla aplikacji MES mam siatkę, która jest „topologicznie” prostokątna, tak że połączenia węzłów są jak na prostokątnej siatce. Jednak węzły nie są idealnie wyrównane na siatce, ale mogą pokonywać niewielkie odległości w celu lepszego dopasowania do geometrii, jednocześnie zachowując połączenia jak w idealnej prostokątnej siatce.

Siatka wygląda mniej więcej tak: Przykład siatki . Widzisz: Połączenia są „zwykłe prostokątne”, ale pozycje węzłów nie.

Mogę sobie wyobrazić kilka „rozsądnych” schematów interpolacji geometrycznej dla takiego ustawienia.

Ogólne pytanie brzmi: czy multigrid wymaga idealnie wyrównanej prostokątnej siatki, czy też będzie działał w sytuacji opisanej powyżej, o ile interpolacja jest „dobra”? A może lepiej w takim przypadku użyć algebraicznej wielosiatki? (Którego nie wolę, ponieważ nie jest tak intuicyjny jak geometryczna wielosiatka.)

Multigrid nie potrzebuje kartezjańskiej (prostokątnej), jednolitej siatki. Potrzebne jest zdefiniowanie dokładnego i zgrubnego poziomu (ewentualnie rekurencyjnie, jeśli chcesz przejść ze schematu dwupoziomowego do wielopoziomowego) oraz zdefiniowanie operatorów interpolacji między tymi poziomami. Najłatwiej to wyjaśnić, jeśli rzeczywiście masz siatkę kartezjańską, ale w rzeczywistości możesz zacząć od dowolnej grubej siatki, udoskonal ją raz i po prostu tak: masz drobniejszą siatkę.

Innymi słowy, najłatwiej jest myśleć o siatkach pasujących do wielu siatek nie o drobnych oczkach i o tym, jak znaleźć grubsze oczka, ale zacząć od grubej siatki, z której uzyskuje się wyższe poziomy przez jednolite wyrafinowanie (tj. Każdy czworokąt jest podzielony na cztery mniejsze). Ponieważ zawsze możliwe jest jednolite udoskonalenie, łatwo można uzyskać hierarchię. Jest to przeciwieństwo zgrubienia, co nie zawsze jest możliwe, jeśli otrzymujesz konkretną siatkę, co znacznie utrudnia zdefiniowanie hierarchii siatki. (Dlatego ludzie wymyślili algebraiczne metody wielosieciowe do definiowania zgrubnych poziomów na podstawie samej macierzy, bez myślenia o siatce, z której została utworzona).

Powiedzmy, że masz następującą siatkę złożoną z prostokątnych elementów:

Jeśli interpolacja zostanie przeprowadzona przy założeniu normalnej strukturalnej prostokątnej siatki, wprowadzone zostaną błędy związane z tą niedokładną interpolacją. Innymi słowy, gdy ograniczysz wektor szczątkowy i przedłużając wektor błędu, wystąpią błędy z interpolacji.

Teraz, jeśli twoja siatka jest „bliska” byciu normalną strukturalną kartezjańską siatką, to może to działać, przynajmniej na początku, ale podejrzewam, że jedna z dwóch rzeczy wydarzy się w zależności od tego, jak daleko od ciebie siatka jest prostokątna:

1) Może się okazać, że multigrid zaczyna zbiegać się na początku. Mimo wszystko początkowo błąd jest duży, a „przybliżona” interpolacja oznacza po prostu, że niektóre węzły są nieco nadreprezentowane, podczas gdy niektóre są nieco niedostatecznie reprezentowane. Jednak może się okazać, że konwergencja ulega stagnacji, gdy rozwiązanie staje się dokładniejsze, a błędy interpolacji stają się ważniejsze.

2) Inną możliwością jest to, że multigrid kończy się zbieżnością, ale nie tak szybko, jak powinien, jeśli użyłeś poprawnej interpolacji.

Zasadniczo, nie korzystając z interpolacji, niedokładnie ważycie znaczenie niektórych węzłów. Na przykład w 2D, jeśli dany węzeł jest ważony jako:

w rzeczywistości, ponieważ twoja siatka nie jest dokładnie kartezjańska, powinna być:

spowoduje to błąd. To, czy ten błąd zapobiega konwergencji, będzie prawdopodobnie zależeć od tego, jak daleko od siatki jest kartezjań.

Chociaż AMG jest trudniejszy do zrozumienia / wdrożenia, wydaje się, że jest to poprawna metoda dla twojej sieci. Zastosowanie geometrycznej wielosiatki do „przybliżonej” prostokątnej siatki może działać, ale sądzę, że jest to w najlepszym przypadku rozwiązanie wspomagające pasmo. Mam nadzieję że to pomoże.

Aktualizacja : Myślę, że w mojej odpowiedzi mogło być trochę zamieszania. Nie twierdzę, że geometryczna wielosiatka będzie działać tylko z siatkami kartezjańskimi, ale raczej, że zdefiniowanie interpolacji (a zatem i ograniczenia) w siatkach kartezjańskich jest łatwe, natomiast w przypadku siatek niestrukturalnych może to być trudne. Rozważmy na przykład przypadek nawet prostej domeny 2D z trójkątną siatką. Udoskonalenie tej siatki jest łatwe - przynajmniej koncepcyjnie - ale jak zdefiniowałbyś operator interpolacji między grubą i cienką siatką? Wolę AMG po prostu dlatego, że działa bardziej jak solver „czarnej skrzynki”, tzn. Nie potrzebuje informacji na temat nieoczekiwanej siatki, jednak jest to tylko stronniczość / dziwactwo mojej osoby. Geometryczna wielosiatka może działać, o ile można zapewnić dokładne operatory interpolacji.