Czy na bezpośredni solver wpływa liczba warunków macierzy?

Gdybym miał rozwiązać stosunkowo niewielki problem, to znaczy problem, który można rozwiązać za pomocą metody bezpośredniej, takiej jak LU, to czy liczba warunków operatora liniowego wpływa na dokładność rozwiązania?

Jeden z problemów badawczych, nad którymi pracuję, koncentruje się na rozwoju technik optymalizacji w celu rozwiązania liniowych układów równań, a „problemami”, na które napotykam, jest to, że liczby warunków macierzy mogą być bardzo wysokie.

To byłby ważny czynnik do rozważenia, gdybym używał metody iteracyjnej i warunku wstępnego, ale teraz rozwiązuję małe problemy (mniej niż 1M stopni swobody), więc na razie odpowiedni jest bezpośredni solver.

$Ax = b$$O(\kappa(A) \cdot \varepsilon)$$\varepsilon$$1 + \varepsilon > 1$$\varepsilon \approx 10^{-16}$$10^{12}$

W rozwiązaniach iteracyjnych numer warunku macierzy wchodzi w show nawet w arytmetyce o nieskończonej precyzji, ponieważ często dyktuje teoretyczną szybkość zbieżności algorytmu. W przypadku bezpośrednich solverów staje się to brane pod uwagę dopiero wtedy, gdy weźmie się pod uwagę fakt, że komputer działa ze skończoną precyzją.