Zastanawiająca uwaga na temat regionu stabilności metody Runge-Kutta piątego rzędu

W gazecie natknąłem się na zagadkową uwagę

PJ van der Houwen, Rozwój metod Runge-Kutty dla równań różniczkowych cząstkowych, Appl. Num. Matematyka 20: 261,1996

W wierszach 8ff na stronie 264 van der Houwen pisze:

„W przypadku wielomianów Taylora oznacza to, że wyobrażony przedział stabilności jest pusty dla ”$p = 1, 2, 5, 6, 9, 10, \cdots$

gdzie wielomian Taylora odnosi się do wielomianu stabilności (skrócone rozwinięcie wokół x = 0 ) metody Runge-Kutta, a p jest rzędem (patrz strona 263). Zakładam, że coś źle zrozumiałem, ponieważ, o ile wiem, metoda Runge-Kutta piątego rzędu nie ma pustego wyobrażonego przedziału stabilności. Z tego, co pamiętam, wyobrażony limit wynosi około 3,4.$\exp(x)$$x=0$

Jakie jest moje nieporozumienie?

$p$$\exp(z)$$p$

$|P_5(i\epsilon)|>1$$\epsilon$$P_5(z)$

$P_5(z)$

$P_5(z)$$p$$P_5(z)$

Wreszcie, łatwo jest popełniać błędy przy określaniu zakresu wyobrażonego przedziału stabilności dla metod Runge-Kutty wyższego rzędu. Jest tak, ponieważ granica obszaru stabilności dla takich metod leży bardzo blisko osi urojonej . Dlatego błędy zaokrągleń mogą prowadzić do niepoprawnych wniosków; należy stosować tylko dokładne obliczenia (oczywiście istotność granicy regionu stabilności dla celów praktycznych w tych okolicznościach z pewnością mogłaby zostać omówiona).

Na przykład, oto wykres regionu stabilności metody piątego rzędu z pary Fehlberg 5 (4):

Wyobrażony przedział stabilności jest pusty, ale nie można stwierdzić na podstawie obrazu przy tej rozdzielczości! Należy zauważyć, że region wyraźnie obejmuje część osi urojonej, ale nie ma odstępu dotyczącego początku.

Tymczasem oto wykres dotyczący metody piątego rzędu z pary Dormand-Prince 5 (4):

$[-1,1]$

$P_p(z)$

Możesz być także zainteresowany pakietem NodePy , który utworzył powyższe wykresy i którego można użyć do dokładnego określenia takich rzeczy, jak wyobrażony przedział stabilności metody (zastrzeżenie: stworzyłem NodePy).