Czy drobna wyznacznik implikuje złe warunkowanie matrycy?

$\det(A) \approx 0$

Czy odwrotność jest również prawdą? Czy źle uwarunkowana matryca ma prawie zerową determinantę?

Oto coś, czego próbowałem w Octave:

a = rand(4,4);
det(a) %0.008
cond(a)%125
a(:,4) = 1*a(:,1) + 2*a(:,2) = 0.000000001*ones(4,1);
det(a)%1.8E-11
cond(a)%3.46E10

linear-algebra condition-number

— Śledztwo
źródło

Wyznacznik pokazuje, czy macierz jest regularna czy pojedyncza. Nie pokazuje, czy jest dobrze, czy źle uwarunkowany.

— Allan P. Engsig-Karup

Wielkość wyznacznika nie może odzwierciedlać złego uwarunkowania: ale .

κ (A) = κ (A^{- 1})

$\kappa(A)=\kappa(A^{-1})$

det (A^{- 1}) = (det A)^{- 1}

$\det (A^{-1})=(\det A)^{-1}$

— faleichik

Czy powinno być gdzieś lub ?

\approx

$\approx$

\neq

$\ne$

— Zapytanie

Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o wpływie matematyki zmiennoprzecinkowej na widma macierzowe, zapoznaj się z książką Nicka Trefethena: Spectra and Pseudospectra: The Behavior of Nonnormal Matrices and Operators and the Pseudospectra Gateway .

— Aron Ahmadia

Odpowiedzi:

To wielkość numeru warunku mierzy bliskość osobliwości, a nie delikatność wyznacznika. $\kappa(\mathbf A)$

Na przykład macierz diagonalna ma małą determinantę, ale jest dobrze uwarunkowana. $10^{-50} \mathbf I$

Z drugiej strony rozważ następującą rodzinę kwadratowych górnych trójkątnych matryc, ze względu na Aleksandra Ostrowskiego (i również studiowanego przez Jima Wilkinsona):

U = (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & 2 \\ 1 & ⋱ & ⋮ \\ ⋱ & 2 \\ 1 \end{matrix})

$\mathbf U=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&2\\&1&\ddots&\vdots\\&&\ddots&2\\&&&1\end{pmatrix}$

Wyznacznik macierzy macierzy wynosi zawsze , ale stosunek największej do najmniejszej liczby pojedynczej (tj. 2- numer warunku ) Ostrowski wykazał, że jest równy , co można zaobserwować, że rośnie wraz ze wzrostem . $n\times n$ $\mathbf U$ $1$ $\kappa_2(\mathbf U)=\dfrac{\sigma_1}{\sigma_n}$ $\cot^2\dfrac{\pi}{4n}$ $n$

— JM
źródło

@Nunoxic: na pewno nie; zanim przejdę do szczegółów, czy znasz już rozkład pojedynczej wartości?

— JM

Bardzo dobrze. To wszystko, co musisz wiedzieć. Chodzi o to, że bardzo ważna informacja na temat warunkowania jest skoncentrowana w . W szczególności będziesz chciał poszukać największych i najmniejszych wartości (pamiętaj, że rozkład jest zdefiniowany w taki sposób, że wpisy ukośne są nieujemne) na przekątnej tej matrycy. Stosunek największego do najmniejszego wpisu po przekątnej jest liczbą warunkową . Jaki rozmiar numeru warunku, na który powinieneś zwrócić uwagę, zależy od maszyny, nad którą pracujesz ...

Σ

$\mathbf \Sigma$

Σ

$\mathbf \Sigma$

κ

$\kappa$

— JM

... ale w ogóle, podczas rozwiązywania równań liniowych z tej matrycy, możesz stracić Base- cyfr rozwiązania. To z grubsza ogólna zasada dla numeru warunku; więc jeśli pracujesz tylko 16 cyfr, z powinno być powodem do niepokoju.

\approx \log_{b} κ

$\approx \log_b \kappa$

b

$b$

κ

$\kappa$

10^{1} 3

$10^13$

— JM

Tak, ale nie jest to zalecana metoda określania numeru warunku (którego wyjaśnienie dotyczy innego pytania). Zakładam, że wiesz, jak odwrócić macierz diagonalną, nie?

— JM

„Regd. Utrata cyfr, czy mógłbyś mi to podać?” - Mógłbym, ale to naprawdę jedna z tych rzeczy, które powinieneś eksperymentować samodzielnie w środowisku komputerowym w celu wzmocnienia.

— JM

Ponieważ , wyznacznik może być dowolnie duży lub mały przez proste przeskalowanie (co nie zmienia liczby warunków). Zwłaszcza w dużych wymiarach nawet skalowanie niewinnym współczynnikiem 2 zmienia determinantę w ogromnym stopniu. $\det(kA)=k^n\det A$

Dlatego nigdy nie używaj wyznacznika do oceny stanu lub bliskości osobliwości.

Z drugiej strony, w przypadku prawie wszystkich dobrze postawionych problemów numerycznych, warunek ten jest ściśle związany z odległością do osobliwości, w sensie najmniejszej perturbacji względnej potrzebnej do złagodzenia problemu. Dotyczy to w szczególności systemów liniowych.

— Arnold Neumaier
źródło