Czy istnieje prosta reguła dla odwrotności stołu stabilizatora obwodu Clifforda?

W Ulepszonej symulacji układów stabilizatora autorstwa Aaronsona i Gottesmana wyjaśniono, jak obliczyć tabelę opisującą, które produkty tensora Pauliego, na które obserwowane są X i Z każdego kubitu, są odwzorowywane, gdy działa na nie obwód Clifforda.

Tutaj jako przykład obwodu Clifford:

0: -------@-----------X---
          |           |
1: ---@---|---@---@---@---
      |   |   |   |
2: ---|---|---@---|-------
      |   |       |
3: ---@---@-------Y-------

I tabela opisująca, jak działa na obserwowalne X i Z każdego kubita:

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   X_   __   Z_   |
| 1    | ZZ   YZ   Z_   ZZ   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   X_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   ++   ++   ++  |
+------+---------------------+-

Każda kolumna tabeli opisuje, w jaki sposób obwód działa na X obserwowalny (lewa połowa kolumny) i Z obserwowalny (prawa połowa kolumny) każdego kubita. Na przykład lewa strona kolumny 3 to Z, Z, _, X, co oznacza operację X3 (Pauli X na kubicie 3) po prawej stronie obwodu jest równoważna operacji Z1 * Z2 * X4 po lewej stronie strona obwodu. Wiersz „znak” wskazuje znak produktu, co jest ważne, jeśli zamierzasz zasymulować pomiar (informuje, czy odwrócić wynik, czy nie).

Możesz także obliczyć tabelę dla odwrotności obwodu. W podanym przeze mnie przykładzie tabela odwrotna jest następująca:

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   Y_   __   Z_   |
| 1    | _Z   YZ   Z_   _Z   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   Y_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   -+   ++   ++  |
+------+---------------------+-

Tabele wyglądają prawie tak samo, jeśli transponujesz ich wiersze i kolumny. Ale wpisy nie są dokładnie identyczne. Oprócz transpozycji musisz zakodować litery w bity ( _= 00, X= 01, Z= 10, Y= 11), następnie zamienić środkowe bity, a następnie zdekodować. Na przykład ZZ koduje do 1010, która zamienia się w 1100, która dekoduje w Y_.

Pytanie, które mam, brzmi: czy istnieje również prosta zasada obliczania znaków tablicy odwrotnej?

Obecnie odwracam te tabele, rozkładając je na obwody, odwracając obwody, a następnie mnożąc je z powrotem. Jest niezwykle nieefektywny w porównaniu do transpozycji + zastąpienia, ale jeśli zamierzam użyć transpozycji + zastąpienia, potrzebuję reguły podpisywania.

pauli-gates clifford-group

— Craig Gidney
źródło

Aby wyjaśnić pytanie: Niech tor Clifford będzie

U

$U$ . Następnie czytając

j

$j$ kolumna daje

U X_{j} U^{†}

$U X_j U^\dagger$ i

U Z_{j} U^{†}

$U Z_j U^\dagger$ w zależności od użytej lewej lub prawej połowy. I Ty chcesz

U^{†} X_{j} U

$U^\dagger X_j U$ i

U^{†} Z_{j} U

$U^\dagger Z_j U$ zamiast z tych danych.

— AHusain

@AHusain Correct.

— Craig Gidney

Aby wyjaśnić pytanie: co oznaczają znaki @ w twoim obwodzie Clifford?

— Josu Etxezarreta Martinez

@JosuEtxezarretaMartinez To są kontrole. Kiedy dwa są połączone, jest to bramka CZ. @ podłączony do X jest kontrolowanym X-em. @ podłączony do Y jest sterowanym Y.

— Craig Gidney

Odpowiedzi:

Istnieje bardzo ściśle powiązana reprezentacja tabelarycznej reprezentacji Aaronsona (i Gottesmana) , która działa nie tylko dla kubitów, ale także dla kubitów o dowolnym skończonym wymiarze, który działa szczególnie dobrze w obwodach czysto Clifforda ( tj. Co najwyżej jeden pomiar końcowy).

W tej alternatywnej reprezentacji przedstawiono tabelki opisujące, w jaki sposób operatory X i Z z pojedynczym kubitem przekształcają się z informacją o fazie, jak w zwykłej reprezentacji. Kolumny szczegółowo opisują operatory Weyl wielu kubitów, które są specjalnym podzbiorem operatorów Pauli. Zaletą tego jest to, że tableau nie jest tylko tablicą współczynników, ale rzeczywistym operatorem liniowym na wektorach, które reprezentują operatory Weyl i fazy.

Jest mały haczyk. W przypadku kubitów wektory te mają współczynniki, które są liczbami całkowitymi modulo 4 (odpowiadającymi podwójnemu pokryciu nietrywialnych pojedynczych kubitowych operatorów Pauli przez operatorów Weyl), a nie modulo 2. Myślę, że to niewielka cena do zapłacenia - chociaż ja może być nieco stronniczy, ponieważ jest to mój własny wynik [ arXiv: 1102.3354 ]. Wydaje się jednak, że jest to nieco „naturalnie występująca” reprezentacja: Appleby opracował specjalny przypadek pojedynczego kubita lub qudita nieco wcześniej [ arXiv: quant-ph / 0412001 ] (coś, co naprawdę chciałbym wiedzieć przed spędzeniem dwóch lat niepotrzebnie odtwarzając zasadniczo te same konwencje).

Korzystanie z takiej reprezentacji z uwagi na fakt, że „tableau” $M_C$ obwodu Clifford $C$ jest teraz rzeczywistą matrycą (i odwracalną), która przekształca wektory, tableau dla obwodu odwrotnego $C^{\dagger}$ jest wtedy odwrotnością $M_C^{-1}$ tableau. Tak więc, przynajmniej dla tej ściśle powiązanej reprezentacji, zasada obliczania układu dla obwodu odwrotnego jest łatwa.

— Niel de Beaudrap
źródło

Czy możesz link do slajdów lub notatek z wykładów opisujących operatorów Weyl?

— Craig Gidney

Czy ma to jakikolwiek związek z zastąpieniem „podstawy Pauliego” {I, X, Y, Z} przez „podstawę czwartorzędu” {I, iX, iY, iZ} podczas śledzenia wektorów produktu?

— Craig Gidney

Przypuszczalnie, gdy mówimy o qubitach, oryginalny papier jest ten jeden

— DaftWullie

Spróbuję znaleźć dobre slajdy dotyczące operatorów Weyl (sam nie mam o nich nic istotnego). W przypadku n-qubit są operatorami

W_{a, b} = i^{- (a \codt b)} Z_{a} X_{b}

$W_{\mathbf a,\mathbf b}=i^{-(\mathbf a\codt\mathbf b)}Z_{\mathbf a}X_{\mathbf b}$ dla dwóch wektorów

a, b \in Z_{4}^{n}

$\mathbf a,\mathbf b\in\mathbb Z^n_4$ . Motywacja tej definicji została podsumowana na str. 2 mojego powiązanego artykułu, prowadzącego do Lemmy 4. Pozwala to wnioskować o grupach stabilizujących, które używają niczego więcej niż mod 4 dodawania (i algebry liniowej mod 4 podczas wykonywania obwodów Clifforda), przyjmując kwadratowy materiał mod 2 dla faz.

— Niel de Beaudrap,

@DaftWullie: Nie, [arXiv: quant-ph / 9608006 ] jest zupełnie inny. Indeksują moce X i Z według wektorów mod 2 (patrz tekst poprzedzający równanie 2), co znajduje odzwierciedlenie w addytywnej strukturze grupowej GF (4). Ich obserwacje dotyczące transformacji symplektycznych na str. 8 dotyczą zatem faz modulowych grupy Pauliego. Appleby i ja nie twierdzimy, że jako pierwsi mamy wymyślną reprezentację grupy Pauli w qubitach: chodzi o to, że nasza reprezentacja z wdziękiem śledzi fazy. Jest to mniej ważne dla odkrywania QECC, ale kluczowe dla symulacji stanów.

— Niel de Beaudrap,

Aby bardziej precyzyjnie narysować techniki Aaronsona i Gottesmana: możesz ustawić każdy stabilizator jako kawałek łańcucha długości $2N$ (dla $N$ kubity). Pierwszy $N$ bity określają lokalizacje operatorów Z i drugi zestaw $N$ określ lokalizacje $X$ operatorzy (więc $X_1Z_2$ dla $N=2$ to 0110). W przypadku obwodu na czterech kubitach transformacja spowodowana obwodem Clifforda (do niektórych faz) byłaby wówczas $8\times 8$ matryca. Możemy myśleć o tym jak o macierzy blokowej

M = (\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}),

$M=\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right),$ gdzie jest każdy z bloków

N \times N

$N\times N$ . Dzięki temu, że stabilizatory dojeżdżają do pracy, wiemy o tym

(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 0 & I \\ I & 0 \end{array}) \cdot {(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array})}^{T} \equiv 0 mod 2

$\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc} 0 & \mathbb{I} \\ \mathbb{I} & 0 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)^T\equiv 0\text{ mod }2$ Chcesz znaleźć odwrotność

M

$M$ modulo 2. Twoja twierdzona forma odwrotności jest wtedy formą (myślę)

(\begin{array}{cc} D^{T} & B^{T} \\ C^{T} & A^{T} \end{array})

$\left(\begin{array}{cc} D^T & B^T \\ C^T & A^T \end{array}\right)$ co jest interesujące przypomina odwrotność a

2 \times 2

$2\times 2$ macierz (ale to nie wystarcza dla macierzy blokowych. Istnieje odwrotność blokowa , ale myślę, że nie jest to tutaj pomocne).

Bałagan, oczywiście, wynika z śledzenia faz. Sądzę, że znaki będą związane ze zmianą liczby operatorów Y w każdym stabilizatorze, ale nie udało mi się zunifikować leczenia. Odpowiedź Niel prawdopodobnie lepiej sprawdza się automatycznie.

— DaftWullie
źródło