Czy dozwolone jest działanie z pozytywną mapą w stanie, który nie jest częścią większego systemu?

W komentarzach do pytania, które ostatnio zadałem, między użytkownikiem1271772 a mną jest dyskusja na temat pozytywnych operatorów.

Wiem, że dla pozytywnego operatora zachowującego ślady (np. Transpozycja częściowa), jeśli działa w stanie mieszanym to mimo że jest prawidłową macierzą gęstości, to przeciera macierz gęstości systemu, to jest uwikłany w - dlatego nie jest to prawidłowy operator. $\Lambda$ $\rho$ $\Lambda(\rho)$

Jednak komentarze tego i użytkownika1271772 skłoniły mnie do myślenia. działająca na stan, który nie jest częścią większego układu, faktycznie daje prawidłową macierz gęstości i nie ma powiązanego układu splątanego, który by go zepsuł. $\Lambda$

Moje pytanie brzmi zatem: czy taka operacja jest dozwolona (tj. Działanie mapy dodatniej na stan, który nie jest częścią większego systemu). Jeśli nie, dlaczego nie? A jeśli tak, to czy to prawda, że każdą pozytywną mapę można rozszerzyć na całkowicie pozytywną mapę (być może nieprofesjonalną)?

— Spaghetti kwantowe
źródło

Jeśli chodzi o ostatnie zdanie pytania, warto zauważyć, że każda mapa liniowa od macierzy kwadratowych do macierzy kwadratowych, niezależnie od tego, czy jest dodatnia czy całkowicie dodatnia, jest jednoznacznie określona przez jej działanie na macierze gęstości stanu czystego (po prostu dlatego, że macierze gęstości stanu czystego obejmują wszystkie macierze). Tak więc nie ma możliwości „rozszerzenia” takiej mapy, aby była całkowicie pozytywna bez zmiany jej działania na czyste stany.

Λ

$\Lambda$

— John Watrous,

Dlaczego częściowa transpozycja działająca na stan czysty daje prawidłową macierz gęstości? A może chodzi ci po prostu o „działanie w stanie, który nie jest częścią większego systemu”? (Ta pierwsza nie wydaje się mieć sensu - każda mapa będzie „bardziej pozytywna” w stanach mieszanych niż w stanach czystych. Ta druga jest po prostu nazywana „mapą pozytywną”.)

— Norbert Schuch

@ NorbertSchuch Mam na myśli „działanie w stanie, który nie jest częścią większego systemu” - czy to nie jest jedno i to samo co stan czysty?

— Kwalifikacja kwantowa

@Quantumspaghettification Nie (to trochę kwestia wiary, ale sposób, w jaki jest sformułowany, jest bardzo mylący w odniesieniu do zwykłego języka. Musiałem go przeczytać kilka razy, aby zgadnąć, co masz na myśli. Sugerowałbym odpowiednio je sformułuj

— Norbert Schuch

@Quantumspaghettification: Stan czysty. W przeciwnym razie (tj. wynosi ): stan mieszany. W obu przypadkach transpozycja daje dodatnią wartość . Tylko jeśli zastosujemy do większego stanu (czy to czystego, czy mieszanego), otrzymamy stan niepozytywny.

ρ = | ψ ⟩ ⟨ ψ |

$\rho=|\psi\rangle\langle\psi|$

ρ

$\rho$

> 1

$>1$

Λ (ρ)

$\Lambda(\rho)$

Λ \otimes I

$\Lambda\otimes I$

— Norbert Schuch

Odpowiedzi:

Żadna mapa, która nie jest całkowicie pozytywna, zachowująca ślad (CPTP), nie jest możliwa jako „dozwolona operacja” (mniej lub bardziej kompletne sprawozdanie z tego, jak niektóre układy przekształcają się) w mechanice kwantowej, bez względu na to, jakie stany ma ona służyć działać na podstawie.

Ograniczenie map będących CPTP pochodzi od samej fizyki. Transformacje fizyczne w układach zamkniętych są jednolite, w wyniku równania Schrödingera. Jeśli pozwolimy na możliwość wprowadzenia systemów pomocniczych lub zignorowania / utraty systemów pomocniczych, otrzymamy bardziej ogólną mapę CPTP, wyrażoną jako dylatacja Stinespringa. Poza tym musimy wziąć pod uwagę mapy, które mogą wystąpić tylko ze znacznym prawdopodobieństwem awarii (tak jak w przypadku wyboru po). Jest to być może jeden ze sposobów opisania „rozszerzenia” map innych niż CPTP do map CPTP - zaprojektowanie go tak, aby można go było określić jako prowokujące z pewnym prawdopodobieństwem i coś nieciekawego z prawdopodobnie większym prawdopodobieństwem;

Na wyższym poziomie - podczas gdy splątanie możemy uznać za dziwne zjawisko i w jakiś sposób szczególne dla mechaniki kwantowej, same prawa mechaniki kwantowej nie rozróżniają stanów splątanych od stanów iloczynowych. Nie ma sensu, w którym mechanika kwantowa jest delikatna lub wrażliwa na samą obecność nielokalnych korelacji (które są korelacjami w rzeczach, które mysą zainteresowani), co uniemożliwiłoby jakąś transformację stanów splątanych tylko dlatego, że mogłoby to doprowadzić do zawstydzających rezultatów. Albo proces jest niemożliwy - a zwłaszcza niemożliwy w przypadku stanów produktu - albo jest możliwy, a wszelkie zakłopotanie wynikami stanów splątanych jest nasze, z uwagi na trudność w zrozumieniu tego, co się wydarzyło. Szczególne w splątaniu jest sposób, w jaki kwestionuje nasze klasyczne motywacje, a nie to, jak same splątane państwa ewoluują w czasie.

— Niel de Beaudrap
źródło

Jakie prawo fizyki wymaga, aby podsystemy wszechświata ewoluowały w ten sposób? Gdybyśmy tylko przypuszczać, że wszechświat ewoluuje według równania Schroedingera, możemy udowodnić, że wszystkie podsystemy muszą ewoluować w sposób CPTP? Nigdy nie widziałem takiego dowodu, a inni się zgadzają: sciencedirect.com/science/article/pii/S0375960105005748 . Zadałem pytanie tutaj: quantumcomputing.stackexchange.com/questions/2073/… .

— user1271772

Po dłuższym czytaniu znalazłem kontrprzykład na twoje twierdzenie, że dynamika musi być CPTP. Gdy początkowa macierz gęstości jest podana przez Eq. 6 sciencedirect.com/science/article/pii/S0375960105005748 , a hamiltonian podano w tym samym akapicie, prowadzi do macierzy gęstości „całkowitej”, w której macierz gęstości podsystemu nie jest nawet pozytywne. Kluczową ideą jest to, że układ i jego kąpiel są zaplątane nawet w czasie . Uważam, że nie trzeba zakładać żadnego splątania między systemem a kąpielą przy , aby wymusić CPTP na sposób Choi lub Alicki.

e^{- i H t} ρ e^{i H t}

$e^{-iHt}\rho e^{iHt}$

t = 0

$t=0$

t = 0

$t=0$

— user1271772

@ user1261772: jeśli nie wolno ci zakładać żadnego splątania między systemem a wanną, to w jakim sensie rozważenie mapy samego systemu jest sensowne? Wcześniej istniejące uwikłanie jest nonsensem dla pomysłu, że nawet staramy się przedstawić „mniej lub bardziej kompletne konto” ewolucji systemu. I --- wreszcie --- jeśli operator podsystemu nie jest nawet dodatni, jak, u licha, interpretujemy możliwość uzyskania ujemnych prawdopodobieństw (lub supernormalizowanych prawdopodobieństw) niektórych stanów własnych?

— Niel de Beaudrap,

„jest to prawdopodobnie jeden ze sposobów opisania„ rozszerzenia ”map CPTP do map CPTP - zaprojektowanie go tak, aby można go było określić jako prowokujące z pewnym prawdopodobieństwem i coś nieciekawego z prawdopodobnie większym prawdopodobieństwem” - czy masz jakiś przykład na to? Wydaje mi się, że z pewnym prawdopodobieństwem wytworzy to wynik, który nie jest dodatni, co nie może być.

— Norbert Schuch

@ Neil: Nigdy nie mówiłem, że nie wolno ci zakładać żadnego splątania między systemem a wanną. W artykule stwierdzono, że argumenty przedstawione dla map CPTP przez Choi i Alickiego nie zakładały początkowej korelacji, a następnie podały przykład, w jaki sposób OQS, który jest początkowo skorelowany z jego kąpielą, może wykazywać nie dodatnią ewolucję, gdy system + kąpiel są ewoluowane przy użyciu a następnie kąpiel. Mówicie, że ideą przedplątania jest „nonsens”, ale jeśli przeszukacie „wstępne korelacje”, znajdziecie ogromną literaturę na temat OQS, które początkowo są skorelowane z ich kąpielami.

e^{- i H t} ρ e^{i H t}

$e^{-iHt}\rho e^{iHt}$

— user1271772

Sytuacja nie do końca pozytywnych map (lub bardziej ogólnie map nieliniowych) jest kontrowersyjna częściowo ze względu na dokładną definicję tego, jak należy skonstruować mapę . Ale łatwo jest wymyślić przykład czegoś, co wydaje się być KPK, a nawet nieliniowe.

Mapa nieliniowa.

Rozważ urządzenie przygotowujące, które może utworzyć kubit w dowolnym stanie (to urządzenie ma 3 tarcze). Teraz urządzenie jest tak skonstruowane, że również przygotowuje drugi stan w środowisku. To znaczy, myślisz, że przygotowałeś jeden stan ale w rzeczywistości przygotowałeś dwa stan . Drugi kubit to środowisko (do którego nie masz dostępu), więc jeśli wykonasz tomografię na kubicie, wszystko wydaje się w porządku. $\rho$ $\rho$ $\rho$ $\rho\otimes\rho$

Nie wyobrażaj sobie, że masz również następującą czarną skrzynkę - ma (o ile wiesz) jedno wejście i dwa wyjścia. W rzeczywistości (nieznane) ma dwa wejścia i dwa wyjścia i po prostu wypluwa zarówno kubit systemowy, jak i kubit środowiskowy. O ile wiesz, ta czarna skrzynka jest maszyną do klonowania, co narusza liniowość.

Podobne do powyższego pomysłu, ale urządzenie przygotowujące przygotowuje (oczywiście można to zrobić w laboratorium). Czarna skrzynka będzie teraz skrzynią jednotorową (jedno wejście kubitowe, jedno wyjście kubitowe, jeśli chodzi o użytkownika), co zamienia system i środowisko. Dla ciebie wygląda to na mapę trasowania. $\rho\otimes\rho^T$

Pamiętaj, że oba urządzenia przygotowujące są fizyczne, ale sposób, w jaki tworzysz mapę, może zależeć od tego, jak z nich korzystasz. W powyższym przykładzie I, przyjmuje się, że stan mieszany będzie wykonana jedynie za pomocą trzech pokręteł na urządzeniu. Zasadniczo mógłbym spróbować zbudować stan mieszany, przerzucając monety i przygotowując stany czyste z odpowiednim prawdopodobieństwem. Tomorgraphy pokazałby, że procesy są równoważne, ale środowisko byłoby inne, a mapa, którą zbudowałbyś dla czarnych skrzynek, byłaby inna. $\rho$

— Aharon Brodutch
źródło

-3

Żadne prawo fizyki nie stanowi, że musimy być w stanie samodzielnie rozwinąć podsystem wszechświata.

Nie byłoby sposobu, aby ostatecznie przetestować takie prawo.

$\rm{Tr}(\rho_{\rm{universe}})\lt1$ $\rho_{\rm{universe}}$ $\rho_{\rm{universe}}<0$

$\rho_{\rm{universe}}(0)\rightarrow\rho_{\rm{universe}}(t)$

Dla wygody lubimy modelować podregiony wszechświata i wprowadzać do tego całkowitą pozytywność. Ale pewnego dnia może nadejść eksperyment, którego wyjaśnienie ² jest niemożliwe , być może dlatego, że wybraliśmy modelowanie wszechświata w sposób, który nie jest zgodny z jego rzeczywistym funkcjonowaniem.

$\rho_{\rm{universe}}$ $\rho_{\rm{universe}}$ podsystemy ewoluują w ten sposób, nie tylko wszechświat jako całość.

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

2 : Tak naprawdę jest już w tym przypadku, ale udawajmy, że grawitacja nie istnieje i że mechanika kwantowa (QED + QFD + QCD) jest poprawna i nadal nie możemy wyjaśnić czegoś, pomimo (jakoś) magicznej mocy komputera oblicz wszystko, co chcemy natychmiast.

— użytkownik1271772
źródło

T r ρ_{u n i v e r s e}

$Tr \rho_{universe}$

@AHusain: Pytanie dotyczyło map zachowujących ślad, które obejmują ślad. Pytanie skierowano do mnie. Pozwól mi zdecydować, w jaki sposób chciałbym odpowiedzieć na pytanie.

— user1271772

Chciałem tylko zaznaczyć, że skończone i nieskończenie wymiarowe przestrzenie Hilberta mają pewne zasadnicze różnice. Stan na różnych rodzajach algeb VonNeumanna. To wszystko.

— AHusain

ρ_{u n i v e r s e}

$\rho_{\rm{universe}}$

ρ_{u n i v e r s e}

$\rho_{\rm{universe}}$

Jeśli zamierzasz zanotować odpowiedź, której napisanie i sformatowanie zajęło cały ranek (może 3-4 godziny?), Czy niesprawiedliwe byłoby wyjaśnienie, co ci się nie podoba?

— user1271772