Jak dopasować krzywą wykładniczą i logarytmiczną w Pythonie? Znalazłem tylko dopasowanie wielomianowe

Mam zbiór danych i chcę porównać, która linia najlepiej go opisuje (wielomiany różnych rzędów, wykładnicze czy logarytmiczne).

Używam Pythona i Numpy, a do dopasowywania wielomianów jest funkcja polyfit(). Ale nie znalazłem takich funkcji do dopasowania wykładniczego i logarytmicznego.

Czy są jakieś? Albo jak inaczej to rozwiązać?

Aby dopasować y = A + B log x , po prostu dopasuj y do (log x ).

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> numpy.polyfit(numpy.log(x), y, 1)
array([ 8.46295607,  6.61867463])
# y ≈ 8.46 log(x) + 6.62

Aby dopasować y = Ae ^Bx , weź logarytm z obu stron, aby uzyskać log y = log A + Bx . Więc dopasuj (log y ) do x .

Zauważ, że dopasowanie (log y ) tak, jakby było liniowe, uwydatni małe wartości y , powodując duże odchylenie dla dużego y . Dzieje się tak, ponieważ polyfit(regresja liniowa) działa poprzez minimalizację ∑ _i (Δ Y ) ² = ∑ _i ( Y _i - Ŷ _i ) ² . Gdy Y _i = log y _i , reszty Δ Y _i = Δ (log y _i ) ≈ Δ y _i / | y _i |. Więc nawet jeślipolyfitpodejmuje bardzo złą decyzję dla dużego y , funkcja „dziel przez | y |” czynnik zrekompensuje to, powodując polyfitfaworyzowanie małych wartości.

Można to złagodzić, nadając każdemu wpisowi „wagę” proporcjonalną do y . polyfitobsługuje ważone najmniejsze kwadraty za pośrednictwem wargumentu słowa kluczowego.

>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1)
array([ 0.10502711, -0.40116352])
#    y ≈ exp(-0.401) * exp(0.105 * x) = 0.670 * exp(0.105 * x)
# (^ biased towards small values)
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1, w=numpy.sqrt(y))
array([ 0.06009446,  1.41648096])
#    y ≈ exp(1.42) * exp(0.0601 * x) = 4.12 * exp(0.0601 * x)
# (^ not so biased)

Zwróć uwagę, że Excel, LibreOffice i większość kalkulatorów naukowych zazwyczaj używa nieważonego (obciążonego) wzoru na linie wykładniczej regresji / trendu. Jeśli chcesz, aby Twoje wyniki były zgodne z tymi platformami, nie dołączaj wag, nawet jeśli zapewnia to lepsze wyniki.

Teraz, jeśli możesz użyć scipy, możesz użyć scipy.optimize.curve_fitdo dopasowania dowolnego modelu bez przekształceń.

Dla y = A + B log x wynik jest taki sam jak w przypadku metody transformacji:

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a+b*numpy.log(t),  x,  y)
(array([ 6.61867467,  8.46295606]), 
 array([[ 28.15948002,  -7.89609542],
        [ -7.89609542,   2.9857172 ]]))
# y ≈ 6.62 + 8.46 log(x)

Jednak dla y = Ae ^Bx możemy uzyskać lepsze dopasowanie, ponieważ bezpośrednio oblicza Δ (log y ). Ale musimy podać przypuszczenie inicjalizacji, aby curve_fitosiągnąć pożądane lokalne minimum.

>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t),  x,  y)
(array([  5.60728326e-21,   9.99993501e-01]),
 array([[  4.14809412e-27,  -1.45078961e-08],
        [ -1.45078961e-08,   5.07411462e+10]]))
# oops, definitely wrong.
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t),  x,  y,  p0=(4, 0.1))
(array([ 4.88003249,  0.05531256]),
 array([[  1.01261314e+01,  -4.31940132e-02],
        [ -4.31940132e-02,   1.91188656e-04]]))
# y ≈ 4.88 exp(0.0553 x). much better.

Można także dopasować zestaw do danych niezależnie od funkcji, którą jak przy użyciu curve_fitodscipy.optimize . Na przykład, jeśli chcesz dopasować funkcję wykładniczą (z dokumentacji ):

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def func(x, a, b, c):
    return a * np.exp(-b * x) + c

x = np.linspace(0,4,50)
y = func(x, 2.5, 1.3, 0.5)
yn = y + 0.2*np.random.normal(size=len(x))

popt, pcov = curve_fit(func, x, yn)

A jeśli chcesz spiskować, możesz zrobić:

plt.figure()
plt.plot(x, yn, 'ko', label="Original Noised Data")
plt.plot(x, func(x, *popt), 'r-', label="Fitted Curve")
plt.legend()
plt.show()

(Uwaga: *przed poptkiedy wykreślić rozszerzy się z pojęć do a, bi cże func. Spodziewa)

Miałem z tym pewien problem, więc pozwól, że wyrażę się bardzo wyraźnie, aby nikt taki jak ja mógł to zrozumieć.

Powiedzmy, że mamy plik danych lub coś w tym rodzaju

# -*- coding: utf-8 -*-

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import sympy as sym

"""
Generate some data, let's imagine that you already have this. 
"""
x = np.linspace(0, 3, 50)
y = np.exp(x)

"""
Plot your data
"""
plt.plot(x, y, 'ro',label="Original Data")

"""
brutal force to avoid errors
"""    
x = np.array(x, dtype=float) #transform your data in a numpy array of floats 
y = np.array(y, dtype=float) #so the curve_fit can work

"""
create a function to fit with your data. a, b, c and d are the coefficients
that curve_fit will calculate for you. 
In this part you need to guess and/or use mathematical knowledge to find
a function that resembles your data
"""
def func(x, a, b, c, d):
    return a*x**3 + b*x**2 +c*x + d

"""
make the curve_fit
"""
popt, pcov = curve_fit(func, x, y)

"""
The result is:
popt[0] = a , popt[1] = b, popt[2] = c and popt[3] = d of the function,
so f(x) = popt[0]*x**3 + popt[1]*x**2 + popt[2]*x + popt[3].
"""
print "a = %s , b = %s, c = %s, d = %s" % (popt[0], popt[1], popt[2], popt[3])

"""
Use sympy to generate the latex sintax of the function
"""
xs = sym.Symbol('\lambda')    
tex = sym.latex(func(xs,*popt)).replace('$', '')
plt.title(r'$f(\lambda)= %s$' %(tex),fontsize=16)

"""
Print the coefficients and plot the funcion.
"""

plt.plot(x, func(x, *popt), label="Fitted Curve") #same as line above \/
#plt.plot(x, popt[0]*x**3 + popt[1]*x**2 + popt[2]*x + popt[3], label="Fitted Curve") 

plt.legend(loc='upper left')
plt.show()

wynik to: a = 0,849195983017, b = -1,18101681765, c = 2,24061176543, d = 0,816643894816

Cóż, myślę, że zawsze możesz użyć:

np.log   -->  natural log
np.log10 -->  base 10
np.log2  -->  base 2

Nieznacznie modyfikując odpowiedź IanVS :

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def func(x, a, b, c):
  #return a * np.exp(-b * x) + c
  return a * np.log(b * x) + c

x = np.linspace(1,5,50)   # changed boundary conditions to avoid division by 0
y = func(x, 2.5, 1.3, 0.5)
yn = y + 0.2*np.random.normal(size=len(x))

popt, pcov = curve_fit(func, x, yn)

plt.figure()
plt.plot(x, yn, 'ko', label="Original Noised Data")
plt.plot(x, func(x, *popt), 'r-', label="Fitted Curve")
plt.legend()
plt.show()

Daje to następujący wykres:

Oto opcja linearyzacji prostych danych, która wykorzystuje narzędzia ze scikit Learn .

Dany

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import FunctionTransformer


np.random.seed(123)

# General Functions
def func_exp(x, a, b, c):
    """Return values from a general exponential function."""
    return a * np.exp(b * x) + c


def func_log(x, a, b, c):
    """Return values from a general log function."""
    return a * np.log(b * x) + c


# Helper
def generate_data(func, *args, jitter=0):
    """Return a tuple of arrays with random data along a general function."""
    xs = np.linspace(1, 5, 50)
    ys = func(xs, *args)
    noise = jitter * np.random.normal(size=len(xs)) + jitter
    xs = xs.reshape(-1, 1)                                  # xs[:, np.newaxis]
    ys = (ys + noise).reshape(-1, 1)
    return xs, ys

transformer = FunctionTransformer(np.log, validate=True)

Kod

Dopasuj dane wykładnicze

# Data
x_samp, y_samp = generate_data(func_exp, 2.5, 1.2, 0.7, jitter=3)
y_trans = transformer.fit_transform(y_samp)             # 1

# Regression
regressor = LinearRegression()
results = regressor.fit(x_samp, y_trans)                # 2
model = results.predict
y_fit = model(x_samp)

# Visualization
plt.scatter(x_samp, y_samp)
plt.plot(x_samp, np.exp(y_fit), "k--", label="Fit")     # 3
plt.title("Exponential Fit")

Dopasuj dane dziennika

# Data
x_samp, y_samp = generate_data(func_log, 2.5, 1.2, 0.7, jitter=0.15)
x_trans = transformer.fit_transform(x_samp)             # 1

# Regression
regressor = LinearRegression()
results = regressor.fit(x_trans, y_samp)                # 2
model = results.predict
y_fit = model(x_trans)

# Visualization
plt.scatter(x_samp, y_samp)
plt.plot(x_samp, y_fit, "k--", label="Fit")             # 3
plt.title("Logarithmic Fit")

Detale

Ogólne kroki

1. Zastosuj operację dziennika do wartości danych ( x, ylub obu)
2. Regresuj dane do modelu zlinearyzowanego
3. Wykres przez „odwrócenie” wszelkich operacji dziennika (z np.exp()) i dopasowanie do oryginalnych danych

Zakładając, że nasze dane są zgodne z trendem wykładniczym, ogólne równanie ⁺ może wyglądać następująco:

Możemy zlinearyzować to drugie równanie (np. Y = punkt przecięcia z osią + nachylenie * x), biorąc logarytm :

Mając zlinearyzowane równanie ⁺⁺ i parametry regresji, moglibyśmy obliczyć:

• Aprzez przechwycenie ( ln(A))
• Bprzez zbocze ( B)

Podsumowanie technik linearyzacji

Relationship |  Example   |     General Eqn.     |  Altered Var.  |        Linearized Eqn.  
-------------|------------|----------------------|----------------|------------------------------------------
Linear       | x          | y =     B * x    + C | -              |        y =   C    + B * x
Logarithmic  | log(x)     | y = A * log(B*x) + C | log(x)         |        y =   C    + A * (log(B) + log(x))
Exponential  | 2**x, e**x | y = A * exp(B*x) + C | log(y)         | log(y-C) = log(A) + B * x
Power        | x**2       | y =     B * x**N + C | log(x), log(y) | log(y-C) = log(B) + N * log(x)

_{⁺ Uwaga: linearyzacja funkcji wykładniczych działa najlepiej, gdy szum jest mały i C = 0. Używaj ostrożnie.}

_{⁺⁺ Uwaga: podczas gdy zmiana danych x pomaga linearyzować dane wykładnicze , zmiana danych y pomaga w linearyzacji danych dziennika .}

Pokazujemy cechy lmfitprzy rozwiązywaniu obu problemów.

Dany

import lmfit

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt


%matplotlib inline
np.random.seed(123)

# General Functions
def func_log(x, a, b, c):
    """Return values from a general log function."""
    return a * np.log(b * x) + c


# Data
x_samp = np.linspace(1, 5, 50)
_noise = np.random.normal(size=len(x_samp), scale=0.06)
y_samp = 2.5 * np.exp(1.2 * x_samp) + 0.7 + _noise
y_samp2 = 2.5 * np.log(1.2 * x_samp) + 0.7 + _noise

Kod

Podejście 1 - lmfitModel

Dopasuj dane wykładnicze

regressor = lmfit.models.ExponentialModel()                # 1    
initial_guess = dict(amplitude=1, decay=-1)                # 2
results = regressor.fit(y_samp, x=x_samp, **initial_guess)
y_fit = results.best_fit    

plt.plot(x_samp, y_samp, "o", label="Data")
plt.plot(x_samp, y_fit, "k--", label="Fit")
plt.legend()

Podejście 2 - model niestandardowy

Dopasuj dane dziennika

regressor = lmfit.Model(func_log)                          # 1
initial_guess = dict(a=1, b=.1, c=.1)                      # 2
results = regressor.fit(y_samp2, x=x_samp, **initial_guess)
y_fit = results.best_fit

plt.plot(x_samp, y_samp2, "o", label="Data")
plt.plot(x_samp, y_fit, "k--", label="Fit")
plt.legend()

Detale

1. Wybierz klasę regresji
2. Podaj nazwane, początkowe domysły, które uwzględniają dziedzinę funkcji

Możesz określić wywnioskowane parametry z obiektu regresora. Przykład:

regressor.param_names
# ['decay', 'amplitude']

Uwaga: ExponentialModel()następuje funkcja rozpadu , która przyjmuje dwa parametry, z których jeden jest ujemny.

Zobacz także ExponentialGaussianModel(), który akceptuje więcej parametrów .

Zainstaluj bibliotekę za pośrednictwem > pip install lmfit.

Wolfram ma rozwiązanie w postaci zamkniętej do dopasowania wykładniczego . Mają również podobne rozwiązania do dopasowywania prawa logarytmicznego i potęgowego .

Okazało się, że to działa lepiej niż curve_fit w scipy. Oto przykład:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Fit the function y = A * exp(B * x) to the data
# returns (A, B)
# From: https://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFittingExponential.html
def fit_exp(xs, ys):
    S_x2_y = 0.0
    S_y_lny = 0.0
    S_x_y = 0.0
    S_x_y_lny = 0.0
    S_y = 0.0
    for (x,y) in zip(xs, ys):
        S_x2_y += x * x * y
        S_y_lny += y * np.log(y)
        S_x_y += x * y
        S_x_y_lny += x * y * np.log(y)
        S_y += y
    #end
    a = (S_x2_y * S_y_lny - S_x_y * S_x_y_lny) / (S_y * S_x2_y - S_x_y * S_x_y)
    b = (S_y * S_x_y_lny - S_x_y * S_y_lny) / (S_y * S_x2_y - S_x_y * S_x_y)
    return (np.exp(a), b)


xs = [33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42]
ys = [3187, 3545, 4045, 4447, 4872, 5660, 5983, 6254, 6681, 7206]

(A, B) = fit_exp(xs, ys)

plt.figure()
plt.plot(xs, ys, 'o-', label='Raw Data')
plt.plot(xs, [A * np.exp(B *x) for x in xs], 'o-', label='Fit')

plt.title('Exponential Fit Test')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend(loc='best')
plt.tight_layout()
plt.show()