Jak określić, czy punkt znajduje się między dwoma innymi punktami na odcinku linii?

Powiedzmy, że masz dwuwymiarową płaszczyznę z 2 punktami (zwanymi aib) reprezentowanymi przez liczbę całkowitą x i ay dla każdego punktu.

Jak określić, czy inny punkt c znajduje się na odcinku linii zdefiniowanym przez a i b?

Najczęściej używam Pythona, ale przykłady w dowolnym języku byłyby pomocne.

Sprawdź, czy iloczyn (ba) i (ca) wynosi 0, jak mówi Darius Bacon, mówi ci, czy punkty a, b i c są wyrównane.

Ale ponieważ chcesz wiedzieć, czy c jest między a i b, musisz również sprawdzić, czy iloczyn skalarny (ba) i (ca) jest dodatni i jest mniejszy niż kwadrat odległości między a i b.

W niezoptymalizowanym pseudokodzie:

def isBetween(a, b, c):
    crossproduct = (c.y - a.y) * (b.x - a.x) - (c.x - a.x) * (b.y - a.y)

    # compare versus epsilon for floating point values, or != 0 if using integers
    if abs(crossproduct) > epsilon:
        return False

    dotproduct = (c.x - a.x) * (b.x - a.x) + (c.y - a.y)*(b.y - a.y)
    if dotproduct < 0:
        return False

    squaredlengthba = (b.x - a.x)*(b.x - a.x) + (b.y - a.y)*(b.y - a.y)
    if dotproduct > squaredlengthba:
        return False

    return True

Oto jak bym to zrobił:

def distance(a,b):
    return sqrt((a.x - b.x)**2 + (a.y - b.y)**2)

def is_between(a,c,b):
    return distance(a,c) + distance(c,b) == distance(a,b)

Sprawdź, czy iloczyn iloczynu b-ai c-ajest 0: oznacza to, że wszystkie punkty są współliniowe. Jeśli tak, sprawdź, czy cwspółrzędne są między a'a b'. Użyj współrzędnych x lub y, o ile ai bsą oddzielne na tej osi (lub są takie same na obu).

def is_on(a, b, c):
    "Return true iff point c intersects the line segment from a to b."
    # (or the degenerate case that all 3 points are coincident)
    return (collinear(a, b, c)
            and (within(a.x, c.x, b.x) if a.x != b.x else 
                 within(a.y, c.y, b.y)))

def collinear(a, b, c):
    "Return true iff a, b, and c all lie on the same line."
    return (b.x - a.x) * (c.y - a.y) == (c.x - a.x) * (b.y - a.y)

def within(p, q, r):
    "Return true iff q is between p and r (inclusive)."
    return p <= q <= r or r <= q <= p

Ta odpowiedź była niegdyś bałaganem trzech aktualizacji. Cenne informacje od nich: rozdział Briana Hayesa w Beautiful Code obejmuje przestrzeń projektową dla funkcji testu kolinearności - przydatne tło. Odpowiedź Vincenta pomogła ulepszyć ten. I to Hayes zasugerował przetestowanie tylko jednej ze współrzędnych x lub y; pierwotnie kod miał andmiejsce if a.x != b.x else.

Oto inne podejście:

• Załóżmy, że te dwa punkty to A (x1, y1) i B (x2, y2)
• Równanie prostej przechodzącej przez te punkty to (x-x1) / (y-y1) = (x2-x1) / (y2-y1) .. (po prostu zrównując nachylenia)

Punkt C (x3, y3) będzie leżeć między A i B, jeśli:

• x3, y3 spełnia powyższe równanie.
• x3 leży między x1 a x2 i y3 leży między y1 i y2 (trywialne sprawdzenie)

Długość segmentu nie jest ważna, dlatego użycie pierwiastka kwadratowego nie jest wymagane i należy go unikać, ponieważ możemy stracić pewną precyzję.

class Point:
    def __init__(self, x, y):
        self.x = x
        self.y = y

class Segment:
    def __init__(self, a, b):
        self.a = a
        self.b = b

    def is_between(self, c):
        # Check if slope of a to c is the same as a to b ;
        # that is, when moving from a.x to c.x, c.y must be proportionally
        # increased than it takes to get from a.x to b.x .

        # Then, c.x must be between a.x and b.x, and c.y must be between a.y and b.y.
        # => c is after a and before b, or the opposite
        # that is, the absolute value of cmp(a, b) + cmp(b, c) is either 0 ( 1 + -1 )
        #    or 1 ( c == a or c == b)

        a, b = self.a, self.b             

        return ((b.x - a.x) * (c.y - a.y) == (c.x - a.x) * (b.y - a.y) and 
                abs(cmp(a.x, c.x) + cmp(b.x, c.x)) <= 1 and
                abs(cmp(a.y, c.y) + cmp(b.y, c.y)) <= 1)

Losowy przykład użycia:

a = Point(0,0)
b = Point(50,100)
c = Point(25,50)
d = Point(0,8)

print Segment(a,b).is_between(c)
print Segment(a,b).is_between(d)

Oto inny sposób, z kodem podanym w C ++. Biorąc pod uwagę dwa punkty, l1 i l2, trywialne jest wyrażenie odcinka linii między nimi jako

l1 + A(l2 - l1)

gdzie 0 <= A <= 1. Jest to znane jako reprezentacja wektorowa linii, jeśli jesteś zainteresowany czymś więcej niż tylko używaniem go do tego problemu. Możemy podzielić składowe xiy tego, dając:

x = l1.x + A(l2.x - l1.x)
y = l1.y + A(l2.y - l1.y)

Weź punkt (x, y) i podstaw jego składowe x i y do tych dwóch wyrażeń, aby znaleźć A. Punkt znajduje się na prostej, jeśli rozwiązania dla A w obu wyrażeniach są równe i 0 <= A <= 1. Ponieważ rozwiązanie dla A wymaga dzielenia, istnieją specjalne przypadki, które wymagają obsługi, aby zatrzymać dzielenie przez zero, gdy segment linii jest poziomy lub pionowy. Ostateczne rozwiązanie jest następujące:

// Vec2 is a simple x/y struct - it could very well be named Point for this use

bool isBetween(double a, double b, double c) {
    // return if c is between a and b
    double larger = (a >= b) ? a : b;
    double smaller = (a != larger) ? a : b;

    return c <= larger && c >= smaller;
}

bool pointOnLine(Vec2<double> p, Vec2<double> l1, Vec2<double> l2) {
    if(l2.x - l1.x == 0) return isBetween(l1.y, l2.y, p.y); // vertical line
    if(l2.y - l1.y == 0) return isBetween(l1.x, l2.x, p.x); // horizontal line

    double Ax = (p.x - l1.x) / (l2.x - l1.x);
    double Ay = (p.y - l1.y) / (l2.y - l1.y);

    // We want Ax == Ay, so check if the difference is very small (floating
    // point comparison is fun!)

    return fabs(Ax - Ay) < 0.000001 && Ax >= 0.0 && Ax <= 1.0;
}

Korzystając z bardziej geometrycznego podejścia, oblicz następujące odległości:

ab = sqrt((a.x-b.x)**2 + (a.y-b.y)**2)
ac = sqrt((a.x-c.x)**2 + (a.y-c.y)**2)
bc = sqrt((b.x-c.x)**2 + (b.y-c.y)**2)

i sprawdź, czy ac + bc równa się ab :

is_on_segment = abs(ac + bc - ab) < EPSILON

Dzieje się tak, ponieważ istnieją trzy możliwości:

• Te 3 punkty tworzą trójkąt => ac + bc> ab
• Są współliniowe i C znajduje się poza AB segmentu => ac + bc> ab
• Są współliniowe, a C jest w środku ab segmentu => ac = + bc ab

Ok, wiele wzmianek o algebrze liniowej (iloczyn wektorowy wektorów) i to działa w przestrzeni rzeczywistej (tj. Ciągłej lub zmiennoprzecinkowej), ale pytanie konkretnie mówiło, że dwa punkty zostały wyrażone jako liczby całkowite, a zatem iloczyn krzyżowy nie jest poprawny rozwiązanie, chociaż może dać przybliżone rozwiązanie.

Prawidłowym rozwiązaniem jest użycie algorytmu liniowego Bresenham między dwoma punktami i sprawdzenie, czy trzeci punkt jest jednym z punktów na prostej. Jeśli punkty są na tyle odległe, że obliczanie algorytmu jest niewydajne (i musiałby być naprawdę duży, żeby tak było), jestem pewien, że możesz poszperać i znaleźć optymalizacje.

Iloczyn skalarny między (ca) i (ba) musi być równy iloczynowi ich długości (oznacza to, że wektory (ca) i (ba) są wyrównane i mają ten sam kierunek). Ponadto długość (ca) musi być mniejsza lub równa długości (ba). Pseudo kod:

# epsilon = small constant

def isBetween(a, b, c):
    lengthca2  = (c.x - a.x)*(c.x - a.x) + (c.y - a.y)*(c.y - a.y)
    lengthba2  = (b.x - a.x)*(b.x - a.x) + (b.y - a.y)*(b.y - a.y)
    if lengthca2 > lengthba2: return False
    dotproduct = (c.x - a.x)*(b.x - a.x) + (c.y - a.y)*(b.y - a.y)
    if dotproduct < 0.0: return False
    if abs(dotproduct*dotproduct - lengthca2*lengthba2) > epsilon: return False 
    return True

Potrzebowałem tego dla javascript do użycia w kanwie HTML5 do wykrywania, czy kursor użytkownika znajduje się nad lub w pobliżu określonej linii. Więc zmodyfikowałem odpowiedź udzieloną przez Dariusa Bacona na coffeescript:

is_on = (a,b,c) ->
    # "Return true if point c intersects the line segment from a to b."
    # (or the degenerate case that all 3 points are coincident)
    return (collinear(a,b,c) and withincheck(a,b,c))

withincheck = (a,b,c) ->
    if a[0] != b[0]
        within(a[0],c[0],b[0]) 
    else 
        within(a[1],c[1],b[1])

collinear = (a,b,c) ->
    # "Return true if a, b, and c all lie on the same line."
    ((b[0]-a[0])*(c[1]-a[1]) < (c[0]-a[0])*(b[1]-a[1]) + 1000) and ((b[0]-a[0])*(c[1]-a[1]) > (c[0]-a[0])*(b[1]-a[1]) - 1000)

within = (p,q,r) ->
    # "Return true if q is between p and r (inclusive)."
    p <= q <= r or r <= q <= p

Możesz użyć iloczynu klinowego i punktowego:

def dot(v,w): return v.x*w.x + v.y*w.y
def wedge(v,w): return v.x*w.y - v.y*w.x

def is_between(a,b,c):
   v = a - b
   w = b - c
   return wedge(v,w) == 0 and dot(v,w) > 0

Oto, jak zrobiłem to w szkole. Zapomniałem, dlaczego to nie jest dobry pomysł.

EDYTOWAĆ:

@Darius Bacon: cytuje książkę „Piękny kod”, która zawiera wyjaśnienie, dlaczego poniższy kod nie jest dobrym pomysłem.

#!/usr/bin/env python
from __future__ import division

epsilon = 1e-6

class Point:
    def __init__(self, x, y):
        self.x, self.y = x, y

class LineSegment:
    """
    >>> ls = LineSegment(Point(0,0), Point(2,4))
    >>> Point(1, 2) in ls
    True
    >>> Point(.5, 1) in ls
    True
    >>> Point(.5, 1.1) in ls
    False
    >>> Point(-1, -2) in ls
    False
    >>> Point(.1, 0.20000001) in ls
    True
    >>> Point(.1, 0.2001) in ls
    False
    >>> ls = LineSegment(Point(1, 1), Point(3, 5))
    >>> Point(2, 3) in ls
    True
    >>> Point(1.5, 2) in ls
    True
    >>> Point(0, -1) in ls
    False
    >>> ls = LineSegment(Point(1, 2), Point(1, 10))
    >>> Point(1, 6) in ls
    True
    >>> Point(1, 1) in ls
    False
    >>> Point(2, 6) in ls 
    False
    >>> ls = LineSegment(Point(-1, 10), Point(5, 10))
    >>> Point(3, 10) in ls
    True
    >>> Point(6, 10) in ls
    False
    >>> Point(5, 10) in ls
    True
    >>> Point(3, 11) in ls
    False
    """
    def __init__(self, a, b):
        if a.x > b.x:
            a, b = b, a
        (self.x0, self.y0, self.x1, self.y1) = (a.x, a.y, b.x, b.y)
        self.slope = (self.y1 - self.y0) / (self.x1 - self.x0) if self.x1 != self.x0 else None

    def __contains__(self, c):
        return (self.x0 <= c.x <= self.x1 and
                min(self.y0, self.y1) <= c.y <= max(self.y0, self.y1) and
                (not self.slope or -epsilon < (c.y - self.y(c.x)) < epsilon))

    def y(self, x):        
        return self.slope * (x - self.x0) + self.y0

if __name__ == '__main__':
    import  doctest
    doctest.testmod()

Dowolny punkt na odcinku linii ( a , b ) (gdzie a i b są wektorami) można wyrazić jako liniową kombinację dwóch wektorów a i b :

Innymi słowy, jeśli c leży na odcinku linii ( a , b ):

c = ma + (1 - m)b, where 0 <= m <= 1

Rozwiązując m , otrzymujemy:

m = (c.x - b.x)/(a.x - b.x) = (c.y - b.y)/(a.y - b.y)

Tak więc nasz test wygląda następująco (w Pythonie):

def is_on(a, b, c):
    """Is c on the line segment ab?"""

    def _is_zero( val ):
        return -epsilon < val < epsilon

    x1 = a.x - b.x
    x2 = c.x - b.x
    y1 = a.y - b.y
    y2 = c.y - b.y

    if _is_zero(x1) and _is_zero(y1):
        # a and b are the same point:
        # so check that c is the same as a and b
        return _is_zero(x2) and _is_zero(y2)

    if _is_zero(x1):
        # a and b are on same vertical line
        m2 = y2 * 1.0 / y1
        return _is_zero(x2) and 0 <= m2 <= 1
    elif _is_zero(y1):
        # a and b are on same horizontal line
        m1 = x2 * 1.0 / x1
        return _is_zero(y2) and 0 <= m1 <= 1
    else:
        m1 = x2 * 1.0 / x1
        if m1 < 0 or m1 > 1:
            return False
        m2 = y2 * 1.0 / y1
        return _is_zero(m2 - m1)

c # Z http://www.faqs.org/faqs/graphics/algorithms-faq/ -> Temat 1.02: Jak znaleźć odległość od punktu do linii?

Boolean Contains(PointF from, PointF to, PointF pt, double epsilon)
        {

            double segmentLengthSqr = (to.X - from.X) * (to.X - from.X) + (to.Y - from.Y) * (to.Y - from.Y);
            double r = ((pt.X - from.X) * (to.X - from.X) + (pt.Y - from.Y) * (to.Y - from.Y)) / segmentLengthSqr;
            if(r<0 || r>1) return false;
            double sl = ((from.Y - pt.Y) * (to.X - from.X) - (from.X - pt.X) * (to.Y - from.Y)) / System.Math.Sqrt(segmentLengthSqr);
            return -epsilon <= sl && sl <= epsilon;
        }

Oto kod Java, który działał dla mnie:

boolean liesOnSegment(Coordinate a, Coordinate b, Coordinate  c) {

    double dotProduct = (c.x - a.x) * (c.x - b.x) + (c.y - a.y) * (c.y - b.y);
    if (dotProduct < 0) return true;
    return false;
}

co powiesz na upewnienie się, że nachylenie jest takie samo, a punkt znajduje się między innymi?

dane punkty (x1, y1) i (x2, y2) (przy x2> x1) i punkt kandydujący (a, b)

if (b-y1) / (a-x1) = (y2-y2) / (x2-x1) I x1 <a <x2

Wtedy (a, b) musi znajdować się w linii między (x1, y1) a (x2, y2)

Odpowiedź w C # przy użyciu klasy Vector2D

public static bool IsOnSegment(this Segment2D @this, Point2D c, double tolerance)
{
     var distanceSquared = tolerance*tolerance;
     // Start of segment to test point vector
     var v = new Vector2D( @this.P0, c ).To3D();
     // Segment vector
     var s = new Vector2D( @this.P0, @this.P1 ).To3D();
     // Dot product of s
     var ss = s*s;
     // k is the scalar we multiply s by to get the projection of c onto s
     // where we assume s is an infinte line
     var k = v*s/ss;
     // Convert our tolerance to the units of the scalar quanity k
     var kd = tolerance / Math.Sqrt( ss );
     // Check that the projection is within the bounds
     if (k <= -kd || k >= (1+kd))
     {
        return false;
     }
     // Find the projection point
     var p = k*s;
     // Find the vector between test point and it's projection
     var vp = (v - p);
     // Check the distance is within tolerance.
     return vp * vp < distanceSquared;
}

Zwróć na to uwagę

s * s

jest iloczynem skalarnym wektora segmentu przez przeciążenie operatora w C #

Kluczem jest wykorzystanie rzutu punktu na nieskończoną linię i zaobserwowanie, że skalarna wielkość rzutu mówi nam w trywialny sposób, czy rzut znajduje się na odcinku, czy nie. Możemy dostosować granice wielkości skalarnej, aby użyć rozmytej tolerancji.

Jeśli rzut jest w granicach, po prostu sprawdzamy, czy odległość od punktu do rzutu mieści się w granicach.

Zaletą podejścia obejmującego wiele produktów jest to, że tolerancja ma znaczącą wartość.

Oto moje rozwiązanie z C # w Unity.

private bool _isPointOnLine( Vector2 ptLineStart, Vector2 ptLineEnd, Vector2 ptPoint )
{
    bool bRes = false;
    if((Mathf.Approximately(ptPoint.x, ptLineStart.x) || Mathf.Approximately(ptPoint.x, ptLineEnd.x)))
    {
        if(ptPoint.y > ptLineStart.y && ptPoint.y < ptLineEnd.y)
        {
            bRes = true;
        }
    }
    else if((Mathf.Approximately(ptPoint.y, ptLineStart.y) || Mathf.Approximately(ptPoint.y, ptLineEnd.y)))
    {
        if(ptPoint.x > ptLineStart.x && ptPoint.x < ptLineEnd.x)
        {
            bRes = true;
        }
    }
    return bRes;
}

Wersja C # odpowiedzi Julesa:

public static double CalcDistanceBetween2Points(double x1, double y1, double x2, double y2)
{
    return Math.Sqrt(Math.Pow (x1-x2, 2) + Math.Pow (y1-y2, 2));
}

public static bool PointLinesOnLine (double x, double y, double x1, double y1, double x2, double y2, double allowedDistanceDifference)
{
    double dist1 = CalcDistanceBetween2Points(x, y, x1, y1);
    double dist2 = CalcDistanceBetween2Points(x, y, x2, y2);
    double dist3 = CalcDistanceBetween2Points(x1, y1, x2, y2);
    return Math.Abs(dist3 - (dist1 + dist2)) <= allowedDistanceDifference;
}

Możesz to zrobić, rozwiązując równanie linii dla tego odcinka linii ze współrzędnymi punktu, dzięki którym będziesz wiedzieć, czy ten punkt znajduje się na prostej, a następnie sprawdzając granice segmentu, aby wiedzieć, czy znajduje się on wewnątrz, czy na zewnątrz. Możesz zastosować jakiś próg, ponieważ cóż, jest on gdzieś w przestrzeni, najprawdopodobniej określony przez wartość zmiennoprzecinkową i nie możesz trafić dokładnie w ten. Przykład w php

function getLineDefinition($p1=array(0,0), $p2=array(0,0)){
    
    $k = ($p1[1]-$p2[1])/($p1[0]-$p2[0]);
    $q = $p1[1]-$k*$p1[0];
    
    return array($k, $q);
    
}

function isPointOnLineSegment($line=array(array(0,0),array(0,0)), $pt=array(0,0)){
    
    // GET THE LINE DEFINITION y = k.x + q AS array(k, q) 
    $def = getLineDefinition($line[0], $line[1]);
    
    // use the line definition to find y for the x of your point
    $y = $def[0]*$pt[0]+$def[1];

    $yMin = min($line[0][1], $line[1][1]);
    $yMax = max($line[0][1], $line[1][1]);

    // exclude y values that are outside this segments bounds
    if($y>$yMax || $y<$yMin) return false;
    
    // calculate the difference of your points y value from the reference value calculated from lines definition 
    // in ideal cases this would equal 0 but we are dealing with floating point values so we need some threshold value not to lose results
    // this is up to you to fine tune
    $diff = abs($pt[1]-$y);
    
    $thr = 0.000001;
    
    return $diff<=$thr;
    
}